( 0,4 pts ) Calcule o valor de lim x 0 g(x), caso exista. Se não existir, justifique
g(x)= sen(x)x & se x<0 2 & se x=0 1-ln (1-x)cos ^2(x) & se x>0

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0g(x), onde g(x) é definida por partes. Vamos precisar usar limites laterais e conhecimentos padrão de limites: limxto0sin xx=1 e expansão em séries de Taylor para ln(1-x) e cos(x).

Passo 2

Para o limite à esquerda, analisamos xto0^-. Neste caso
g(x)=sin xx,
e sabemos que
limxto0^-sin xx=1

Passo 3

Para o limite à direita, analisamos xto0^+. Temos
g(x)=1-ln(1-x)cos^2(x)

Passo 4

Usando expansão para ln(1-x) perto de zero:
ln(1-x)=-x-x^22+O(x^3),
logo o numerador fica
1-ln(1-x)=1+ x+x^22+O(x^3)to1(xto0),
e como cos^2(x)=1- x^2+O(x^4)to1, concluímos que
limxto0^+1-ln(1-x)cos^2(x)=11=1

Passo 5

Como os limites laterais coincidem (ambos iguais a 1), o limite limxto0g(x) existe e vale 1.

Resposta

1

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