( 0,4 pts ) Calcule o valor de , caso exista. Se não existir, justifique
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de limxto0g(x), onde g(x) é definida por partes. Vamos precisar usar limites laterais e conhecimentos padrão de limites: limxto0sin xx=1 e expansão em séries de Taylor para ln(1-x) e cos(x).
Passo 2
Para o limite à esquerda, analisamos xto0^-. Neste caso
g(x)=sin xx,
e sabemos que limxto0^-sin xx=1
Passo 3
Para o limite à direita, analisamos xto0^+. Temos
g(x)=1-ln(1-x)cos^2(x)
Passo 4
Usando expansão para ln(1-x) perto de zero:
ln(1-x)=-x-x^22+O(x^3),
logo o numerador fica 1-ln(1-x)=1+ x+x^22+O(x^3)to1(xto0),
e como cos^2(x)=1- x^2+O(x^4)to1, concluímos que
limxto0^+1-ln(1-x)cos^2(x)=11=1
Passo 5
Como os limites laterais coincidem (ambos iguais a 1), o limite limxto0g(x) existe e vale 1.