Calcule a área da região polar que está situada:
simultaneamente no interior de r=6 \cos (2 \theta) e de r=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz simultaneamente
r \le 6\cos(2\theta)
e r \le 3. O conteúdo é integrar em polares usando
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(r_{\max}(\theta)\bigr)^2\,d\theta.

Passo 2

Note que 6\cos(2\theta) só é não-negativo quando \cos(2\theta)\ge0, ou seja em cada pétala
-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} \quad(\text{e periodicamente a cada }\pi).
Dentro dessa faixa tomamos
r_{\max}(\theta)=\min\{6\cos(2\theta),\,3\}.

Passo 3

Dentro de -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} dividimos em dois subintervalos:
  1. Se \cos(2\theta)\ge\tfrac12 então 6\cos(2\theta)\ge3 e r_{\max}=3. Isto ocorre para
-\tfrac{\pi}{6}\le\theta\le\tfrac{\pi}{6}.
  1. Se 0\le\cos(2\theta)\le\tfrac12 então 6\cos(2\theta)\le3 e r_{\max}=6\cos(2\theta). Isto ocorre em
-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le-\tfrac{\pi}{6} \quad\text{e}\quad \tfrac{\pi}{6}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcule a área de uma pétala como
A_{\rm pétala} =\frac12\Biggl[ \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}3^2\,d\theta +\int_{-\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{6}}(6\cos2\theta)^2\,d\theta +\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(6\cos2\theta)^2\,d\theta \Biggr].é
Por simetria das duas últimas integrais juntamos e simplificamos passo a passo.

Passo 5

Primeiro
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}}9\,d\theta =9\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=3\pi.
Em seguida, usando \cos^2(2\theta)=\tfrac12(1+\cos4\theta),
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}36\cos^2(2\theta)\,d\theta =36\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+\cos4\theta}{2}\,d\theta =18\left[\theta+\tfrac{\sin4\theta}{4}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} =18\Bigl(\tfrac{\pi}{24}-\tfrac{\sqrt3}{16}\Bigr) = \tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{9\sqrt3}{8}.
Como há duas cópias simétricas,
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{6}}(6\cos2\theta)^2\,d\theta +\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(6\cos2\theta)^2\,d\theta =2\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}-\tfrac{9\sqrt3}{8}\Bigr) =\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{9\sqrt3}{4}.

Passo 6

Logo a área de uma pétala fica
A_{\rm pétala} =\frac12\Bigl(3\pi + \bigl(\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{9\sqrt3}{4}\bigr)\Bigr) = \frac12\Bigl(\tfrac{9\pi}{2}-\tfrac{9\sqrt3}{4}\Bigr) = \tfrac{9\pi}{4}-\tfrac{9\sqrt3}{8} =3\pi-\tfrac{9\sqrt3}{4}.é

Passo 7

Como a rosa r=6\cos2\theta tem 4 pétalas idênticas, a área total da região pedida é
A=4\,A_{\rm pétala} =4\Bigl(3\pi-\tfrac{9\sqrt3}{4}\Bigr) =12\pi-9\sqrt3.é

Resposta

12\pi - 9\sqrt3

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