Calcule a área da região polar que está situada:
simultaneamente no interior de
e de
simultaneamente no interior de
Passo 1
O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz simultaneamente
e
O conteúdo é integrar em polares usando
Passo 2
Note que
só é não-negativo quando
, ou seja em cada pétala
Dentro dessa faixa tomamos
Passo 3
Dentro de
dividimos em dois subintervalos:
- Se
então e . Isto ocorre para
- Se
então e . Isto ocorre em
Passo 4
Calcule a área de uma pétala como
Por simetria das duas últimas integrais juntamos e simplificamos passo a passo.
Passo 5
Primeiro
Em seguida, usando
,
Como há duas cópias simétricas,
Passo 6
Logo a área de uma pétala fica
Passo 7
Como a rosa
tem 4 pétalas idênticas, a área total da região pedida é