Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=3-2 \cos (\theta) e r=4 \cos (\theta);

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está simultaneamente no interior das curvas polares r=3-2\cos\theta e r=4\cos\theta. Para isso vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\,d\theta,
mas escolhendo para cada \theta o menor dos dois valores de r, já que queremos a interseção das duas regiões.

Passo 2

Primeiro achamos os ângulos de interseção resolvendo
3 - 2\cos\theta = 4\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad 3 = 6\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \tfrac12,
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\theta = \pm \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Observamos que r=4\cos\theta é não negativa apenas para \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]. Em [-\tfrac\pi2,-\tfrac\pi3] e em [\tfrac\pi3,\tfrac\pi2] vale 4\cos\theta\le 3-2\cos\theta, então o limite inferior da região comum é r=4\cos\theta. Em [-\tfrac\pi3,\tfrac\pi3] vale 3-2\cos\theta\le 4\cos\theta, então ali o limite é r=3-2\cos\theta.

Passo 4

Portanto a área total é a soma de três integrais (mas pela simetria podemos juntar os dois trechos extremos):
A = \frac12 \int_{-\frac\pi2}^{-\frac\pi3} (4\cos\theta)^2\,d\theta + \frac12 \int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3} (3-2\cos\theta)^2\,d\theta + \frac12 \int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2} (4\cos\theta)^2\,d\theta.

Passo 5

Calculemos primeiro a parte externa combinada:
A_{13} = 2\cdot\frac12\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}16\cos^2\theta\,d\theta =16\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\frac{1+\cos2\theta}{2}\,d\theta =8\Bigl[\theta+\tfrac12\sin2\theta\Bigr]_{\frac\pi3}^{\frac\pi2} =\frac{4\pi}{3}-2\sqrt3.
Agora a parte central:
A_2 = \frac12\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}\bigl(9-12\cos\theta+4\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.
Separando em três termos e usando \int\cos^2\theta\,d\theta=\tfrac12(\theta+\tfrac12\sin2\theta), obtemos
A_2 = \frac12\Bigl[\;6\pi -12\sqrt3 +\bigl(\tfrac{4\pi}{3}+\sqrt3\bigr)\Bigr] = \frac{11\pi}{3}-\frac{11\sqrt3}{2}.

Passo 6

Somando
A = A_{13} + A_2 =\Bigl(\frac{4\pi}{3}-2\sqrt3\Bigr) +\Bigl(\frac{11\pi}{3}-\frac{11\sqrt3}{2}\Bigr) =5\pi-\frac{15\sqrt3}{2}.

Resposta

5\pi - \dfrac{15\sqrt3}{2}

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