Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está simultaneamente no interior das curvas polares
e
. Para isso vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
mas escolhendo para cada
o menor dos dois valores de
, já que queremos a interseção das duas regiões.
Passo 2
Primeiro achamos os ângulos de interseção resolvendo
logo
Passo 3
Observamos que
é não negativa apenas para
. Em
e em
vale
, então o limite inferior da região comum é
. Em
vale
, então ali o limite é
.
Passo 4
Portanto a área total é a soma de três integrais (mas pela simetria podemos juntar os dois trechos extremos):
Passo 5
Calculemos primeiro a parte externa combinada:
Agora a parte central:
Separando em três termos e usando
, obtemos
Passo 6
Somando