Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, fica simultaneamente dentro de
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
e explorar a simetria angular das funções
e
.
Passo 2
Para que uma região esteja “dentro” de
e de
, precisamos ter
pois, quando uma dessas for negativa, não há “raio” positivo até a curva. Essas duas desigualdades ocorrem simultaneamente quando
Isto é, em cada intervalo
temos
e
. Há 4 desses intervalos em
por causa da periodicidade de
.
Passo 3
Dentro de cada pequeno intervalo
, as curvas se cruzam quando
Em particular, no primeiro intervalo
, ocorre cruzamento em
. Para
vale
, e para
vale
. Assim o “raio máximo comum” é
Passo 4
Calculemos a área de apenas um desses intervalos, depois multiplicamos por 4. Seja
Passo 5
Usamos as identidades
Então
Somando e multiplicando por
dá
Passo 6
Como há 4 intervalos idênticos em
, a área total é