Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=\operatorname{sen}(4 \theta) e r=\cos (4 \theta);

Passo 1

O enunciado pede a área da região que, em coordenadas polares, fica simultaneamente dentro de
r = \sin(4\theta)\quad\text{e}\quad r = \cos(4\theta).
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula
\text{Área}=\frac12\int (r(\theta))^2\,d\thetaÁ
e explorar a simetria angular das funções \sin(4\theta) e \cos(4\theta).

Passo 2

Para que uma região esteja “dentro” de r=\sin(4\theta) e de r=\cos(4\theta), precisamos ter
\sin(4\theta)\ge0 \quad\text{e}\quad \cos(4\theta)\ge0,
pois, quando uma dessas for negativa, não há “raio” positivo até a curva. Essas duas desigualdades ocorrem simultaneamente quando
4\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]+2\pi k, \quad k\in\{0,1,2,3\}.
Isto é, em cada intervalo
\theta\in\Bigl[k\frac{\pi}{2},\,k\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\Bigr],
temos \sin(4\theta)\ge0 e \cos(4\theta)\ge0. Há 4 desses intervalos em [0,2\pi] por causa da periodicidade de 4\theta.

Passo 3

Dentro de cada pequeno intervalo \bigl[k\frac{\pi}{2},\,k\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}\bigr], as curvas se cruzam quando
\sin(4\theta)=\cos(4\theta) \quad\Longrightarrow\quad 4\theta=\frac{\pi}{4}+n\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{16}+n\frac{\pi}{4}.
Em particular, no primeiro intervalo \theta\in[0,\pi/8], ocorre cruzamento em \theta=\pi/16. Para 0\le\theta\le\pi/16 vale \sin(4\theta)\le\cos(4\theta), e para \pi/16\le\theta\le\pi/8 vale \cos(4\theta)\le\sin(4\theta). Assim o “raio máximo comum” é
r(\theta)= \begin{cases} \sin(4\theta),&0\le\theta\le\frac{\pi}{16},\\\ \cos(4\theta),&\frac{\pi}{16}\le\theta\le\frac{\pi}{8}. \end{cases}

Passo 4

Calculemos a área de apenas um desses intervalos, depois multiplicamos por 4. Seja
A_{\text{pedacinho}} =\frac12\Bigl[ \int_{0}^{\pi/16}\bigl(\sin(4\theta)\bigr)^2\,d\theta +\int_{\pi/16}^{\pi/8}\bigl(\cos(4\theta)\bigr)^2\,d\theta \Bigr].

Passo 5

Usamos as identidades
\int\sin^2(4\theta)\,d\theta =\int\frac{1-\cos(8\theta)}2\,d\theta =\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(8\theta)}{16},
\int\cos^2(4\theta)\,d\theta =\int\frac{1+\cos(8\theta)}2\,d\theta =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(8\theta)}{16}.
Então
\int_{0}^{\pi/16}\sin^2(4\theta)\,d\theta =\Bigl[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin(8\theta)}{16}\Bigr]_0^{\pi/16} =\frac{\pi}{32}-\frac1{16},
\int_{\pi/16}^{\pi/8}\cos^2(4\theta)\,d\theta =\Bigl[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(8\theta)}{16}\Bigr]_{\pi/16}^{\pi/8} =\frac{\pi}{32}-\frac1{16}.
Somando e multiplicando por \tfrac12
A_{\text{pedacinho}} =\frac12\Bigl(2\bigl(\tfrac{\pi}{32}-\tfrac1{16}\bigr)\Bigr) =\frac{\pi}{32}-\frac1{16}.

Passo 6

Como há 4 intervalos idênticos em [0,2\pi], a área total é
A_{\text{total}}=4\Bigl(\frac{\pi}{32}-\frac1{16}\Bigr) =\frac{\pi}{8}-\frac14.

Resposta

\boxed{A = \frac{\pi}{8} - \frac14.}

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