Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=2+2 \cos (\theta) e r=2+2 \operatorname{sen}(\theta);

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está simultaneamente no interior de
r = 2 + 2\cos(\theta)
e
r = 2 + 2\sin(\theta).
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(r(\theta)\bigr)^2 \, d\theta,
mas aqui r(\theta) será o menor entre as duas curvas, pois queremos a interseção.

Passo 2

Primeiro achamos os ângulos de interseção resolvendo
2 + 2\cos(\theta) = 2 + 2\sin(\theta) \;\Longrightarrow\; \cos(\theta)=\sin(\theta) \;\Longrightarrow\; \tan(\theta)=1.
Assim
\theta = \frac\pi4 \quad\text{ou}\quad \theta = \frac{5\pi}4
no intervalo [0,2\pi).

Passo 3

Devemos ver em que intervalos cada curva é a menor:
2+2\cos(\theta)\le2+2\sin(\theta) \;\Longleftrightarrow\; \cos(\theta)\le\sin(\theta) \;\Longleftrightarrow\; \theta\in\Bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{5\pi}4\Bigr].
Então:
  • Para \theta\in[\tfrac\pi4,\tfrac{5\pi}4] a fronteira comum é r_1=2+2\cos(\theta).
  • Para \theta\in[0,\tfrac\pi4]\cup[\tfrac{5\pi}4,2\pi] a fronteira comum é r_2=2+2\sin(\theta).

Passo 4

O área comum é
A=\frac12\Biggl[ \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\bigl(2+2\cos\theta\bigr)^2 d\theta + \int_{0}^{\pi/4}\bigl(2+2\sin\theta\bigr)^2 d\theta + \int_{5\pi/4}^{2\pi}\bigl(2+2\sin\theta\bigr)^2 d\theta \Biggr].
Para simplificar, note que os dois últimos integrandos sobre 2+2\sin\theta podem ser reunidos usando periodicidade.

Passo 5

Expandimos os quadrados:
(2+2\cos\theta)^2 =6 + 8\cos\theta + 2\cos(2\theta),
(2+2\sin\theta)^2 =6 + 8\sin\theta - 2\cos(2\theta).
Calculamos
I_1=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(6+8\cos\theta+2\cos2\theta)\,d\theta =6\pi -8\sqrt2,
I_2=\int_{5\pi/4}^{2\pi}\!(6+8\sin\theta-2\cos2\theta)\,d\theta +\int_{0}^{\pi/4}\!(6+8\sin\theta-2\cos2\theta)\,d\theta =6\pi -8\sqrt2.

Passo 6

Somando e aplicando o fator \tfrac12:
A = \tfrac12\bigl(I_1+I_2\bigr) = \tfrac12\bigl((6\pi-8\sqrt2)+(6\pi-8\sqrt2)\bigr) =6\pi -8\sqrt2.

Resposta

A área procurada é
6\pi - 8\sqrt2.

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