Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
;
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está simultaneamente no interior de
e
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
mas aqui
será o menor entre as duas curvas, pois queremos a interseção.
Passo 2
Primeiro achamos os ângulos de interseção resolvendo
Assim
no intervalo
.
Passo 3
Devemos ver em que intervalos cada curva é a menor:
Então:
- Para
a fronteira comum é . - Para
a fronteira comum é .
Passo 4
O área comum é
Para simplificar, note que os dois últimos integrandos sobre
podem ser reunidos usando periodicidade.
Passo 5
Expandimos os quadrados:
Calculamos
Passo 6
Somando e aplicando o fator
:
Resposta
A área procurada é