Calcule a área da região do primeiro quadrante limitada por f(x)=3x ; g(x)=-x+4 (desenhe e hachure o gráfico da região):
e o eixo X.

Passo 1

O enunciado pede a área da região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
f(x)=3x, g(x)=-x+4 e pelo eixo x.
O conteúdo é cálculo de área de uma região planar, que aqui aparece como um triângulo. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar os vértices da região (interseções de f, g e do eixo x).
  2. Reconhecer a forma (triângulo) e usar a fórmula de área.

Passo 2

Determine a interseção entre f e g, resolvendo
3x = -x + 4
4x = 4
x = 1,\quad y = 3\,.
Logo, um vértice comum é (1,3).

Passo 3

Determine onde cada reta cruza o eixo x:
– Para f(x)=3x, y=0 3x=0\Rightarrow x=0, isto é, (0,0).
– Para g(x)=-x+4, y=0 -x+4=0\Rightarrow x=4, isto é, (4,0).
Portanto os três vértices da região são (0,0), (1,3) e (4,0).

Passo 4

A região é um triângulo de base no eixo x de comprimento
\text{base} = 4-0 = 4
e altura igual à ordenada do vértice superior, isto é,
\text{altura} = 3.
A área de um triângulo é
\frac{\text{base}\times\text{altura}}{2} =\frac{4\cdot 3}{2} =6.

Resposta

A área da região é 6 unidades de área.

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