Elabore, mas não calcule, uma integral para a área do elipsoide x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva (mas não calcule) uma integral que represente a área da superfície do elipsoide
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
O conteúdo envolvido é a parametrização de superfícies e o cálculo de área via a fórmula
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv,Á
onde \mathbf r(u,v) é uma parametrização de S.

Passo 2

Escolhemos coordenadas esféricas alongadas, definindo os parâmetros
\varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi], e a parametrização
\mathbf r(\varphi,\theta)=\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\;b\sin\varphi\sin\theta,\;c\cos\varphi\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf r_{\varphi}=\bigl(a\cos\varphi\cos\theta,\;b\cos\varphi\sin\theta,\;-c\sin\varphi\bigr),
\mathbf r_{\theta}=\bigl(-a\sin\varphi\sin\theta,\;b\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr).

Passo 4

Formamos o produto vetorial e extraímos sua norma. Sem detalhar toda a álgebra, chega-se a
\bigl\|\mathbf r_{\varphi}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\| =\sin\varphi\, \sqrt{b^{2}c^{2}\cos^{2}\theta \;+\;a^{2}c^{2}\sin^{2}\theta \;+\;a^{2}b^{2}\cot^{2}\varphi}\,.
(Inicialmente aparece \sqrt{b^{2}c^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cdots+a^{2}b^{2}\cos^{2}\varphi}, mas reorganiza-se em função de \sin\varphi e \cos\varphi.)

Passo 5

Substituímos na integral de superfície com os limites de \varphi e \theta:
\text{Área}(S) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl\|\mathbf r_{\varphi}(\varphi,\theta)\times\mathbf r_{\theta}(\varphi,\theta)\bigr\|\, d\varphi\,d\theta.Á

Resposta

\boxed{ \text{Área}(S) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,\sqrt{b^{2}c^{2}\cos^{2}\theta \;+\;a^{2}c^{2}\sin^{2}\theta \;+\;a^{2}b^{2}\cot^{2}\varphi} \;d\varphi\,d\theta }.Á

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