Elabore, mas não calcule, uma integral para a área do elipsoide x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}=1 Passo 1O enunciado pede que a gente escreva (mas não calcule) uma integral que represente a área da superfície do elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1. O conteúdo envolvido é a parametrização de superfícies e o cálculo de área via a fórmula \text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv,Á onde \mathbf r(u,v) é uma parametrização de S. Passo 2Escolhemos coordenadas esféricas alongadas, definindo os parâmetros \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi], e a parametrização \mathbf r(\varphi,\theta)=\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\;b\sin\varphi\sin\theta,\;c\cos\varphi\bigr). Passo 3Calculamos as derivadas parciais: \mathbf r_{\varphi}=\bigl(a\cos\varphi\cos\theta,\;b\cos\varphi\sin\theta,\;-c\sin\varphi\bigr), \mathbf r_{\theta}=\bigl(-a\sin\varphi\sin\theta,\;b\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr). Passo 4Formamos o produto vetorial e extraímos sua norma. Sem detalhar toda a álgebra, chega-se a \bigl\|\mathbf r_{\varphi}\times\mathbf r_{\theta}\bigr\| =\sin\varphi\, \sqrt{b^{2}c^{2}\cos^{2}\theta \;+\;a^{2}c^{2}\sin^{2}\theta \;+\;a^{2}b^{2}\cot^{2}\varphi}\,. (Inicialmente aparece \sqrt{b^{2}c^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\cdots+a^{2}b^{2}\cos^{2}\varphi}, mas reorganiza-se em função de \sin\varphi e \cos\varphi.) Passo 5Substituímos na integral de superfície com os limites de \varphi e \theta: \text{Área}(S) =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl\|\mathbf r_{\varphi}(\varphi,\theta)\times\mathbf r_{\theta}(\varphi,\theta)\bigr\|\, d\varphi\,d\theta.Á Resposta \boxed{ \text{Área}(S) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,\sqrt{b^{2}c^{2}\cos^{2}\theta \;+\;a^{2}c^{2}\sin^{2}\theta \;+\;a^{2}b^{2}\cot^{2}\varphi} \;d\varphi\,d\theta }.Á MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a área da região do primeiro quadrante limitada por f(x)=3x ; g(x)=-x+4 (desenhe e hachure o gráfico da região): e o eixo X. Encontre a solução geral da seguinte equaçăo y^{\prime}=\frac{2 x-y}{y}. Encontre, em seguida, a soluçăo que satisfaz a condiçăo inicial y(0)=3. (a) Use a definição de área da superfície (6) para determinar a área da superfície com equação vetorial \mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+c u \mathbf{k} 0 \leq u \leq h, 0 \leq v \leq 2 \pi. (b) Identifique a superfície na parte (a) eliminando os parâmetros e determine a área da superfície usando a Equação 9. (a) Use a definição de área da superfície (6) para determinar a área da superfície com equação vetorial \mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+c u \mathbf{k} 0 \leq u \leq h, 0 \leq v \leq 2 \pi. (b) Identifique a superfície na parte (a) eliminando os parâmetros e determine a área da superfície usando a Equação 9.