Encontre a solução geral da seguinte equaçăo
. Encontre, em seguida, a soluçăo que satisfaz a condiçăo inicial
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de primeira ordem
e depois a solução que satisfaz a condição inicial
.
Note que o lado direito depende de e
apenas na razão
, indicando que se trata de uma equação homogênea. Vamos usar a substituição padrão para EDOs homogêneas.
Note que o lado direito depende de
Passo 2
Fazemos a troca de variáveis
onde
é função de
. Logo
Substituindo na ODE original
obtemos
Passo 3
Isolamos o termo com
:
Portanto a equação fica separável:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo fazemos decomposição em frações parciais:
com
Logo
O lado direito dá
.
Passo 5
Reescrevendo o resultado da integração,
Multiplicando por
e exponenciando, chega-se à forma implícita da solução geral:
onde
é constante arbitrária. Voltando a
, temos
Passo 6
Para a solução particular usamos
. No lado esquerdo, em
, fica
. Logo
. A solução que satisfaz a condição inicial é
Resposta
Solução geral implícita:
Solução particular com
: