Calcule a área
da região
delimitada pela reta
e pela parábola
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região R limitada pela reta y = x e pela parábola y² = 2 – x. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: expressar x em função de y, encontrar os pontos de interseção e integrar em relação a y.
Passo 2
Reescrevemos a parábola isolando x: y² = 2 – x
Logo,
A reta y = x já está dada em forma x = y.
Passo 3
Determinamos os pontos de interseção resolvendo x_da_parábola = x_da_reta:
Substituindo x = y em y² = 2 – x obtemos
Resolvendo,
Portanto y = 1 e y = -2.
Os pontos de interseção são (1,1) e (-2,-2).
Os pontos de interseção são (1,1) e (-2,-2).
Passo 4
Para cada y entre -2 e 1, a curva da parábola fornece o valor de x à direita e a reta fornece o valor de x à esquerda. Assim, a largura horizontal é
Passo 5
A área é dada por
Agora integramos:
Passo 6
Avaliação da integral nos limites:
Em y = 1:
Em y = -2:
Passo 7
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A = \tfrac{9}{2}