Calcule a área A da região R delimitada pela reta y=x e pela parábola y^2=2-x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R limitada pela reta y = x e pela parábola y² = 2 – x. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: expressar x em função de y, encontrar os pontos de interseção e integrar em relação a y.

Passo 2

Reescrevemos a parábola isolando x: y² = 2 – x
Logo,
x = 2 - y^2
A reta y = x já está dada em forma x = y.

Passo 3

Determinamos os pontos de interseção resolvendo x_da_parábola = x_da_reta:
Substituindo x = y em y² = 2 – x obtemos
y^2 = 2 - y
y^2 + y - 2 = 0
Resolvendo,
(y + 2)(y - 1) = 0
Portanto y = 1 e y = -2.
Os pontos de interseção são (1,1) e (-2,-2).

Passo 4

Para cada y entre -2 e 1, a curva da parábola fornece o valor de x à direita e a reta fornece o valor de x à esquerda. Assim, a largura horizontal é
xparábola - xreta = (2 - y^2) - yá

Passo 5

A área é dada por
A = integraly=-2^1 l[(2 - y^2) - yr] , dy
Agora integramos:
integral (2 - y - y^2) , dy = 2y - y^22 - y^33 + C

Passo 6

Avaliação da integral nos limites:
Em y = 1:
2(1) - 1^22 - 1^33 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac12 - 3 - 26 = tfrac76
Em y = -2:
2(-2) - (-2)^22 - (-2)^33 = -4 - 2 + tfrac83 = -6 + tfrac83 = -tfrac103

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
A = l(tfrac76r) - l(-tfrac103r) = tfrac76 + tfrac103 = tfrac76 + tfrac206 = tfrac276 = tfrac92

Resposta

A = \tfrac{9}{2}

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