Calcule a área da região R determinada pela curva dada, para:
R: y=\operatorname{Sen}(x), para x \in\left[\frac{\pi}{2}, 2 \pi\right].

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelo gráfico de y=\sin(x) e o eixo x, para x variando de \tfrac{\pi}{2} a 2\pi. Como parte da curva fica abaixo do eixo x, precisamos integrar o valor absoluto de \sin(x).

Passo 2

Identificamos os subintervalos em que \sin(x) é positivo ou negativo:
  • Para x\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr], \sin(x)\ge0.
  • Para x\in\bigl[\pi,2\pi\bigr], \sin(x)\le0.

Passo 3

Calculamos a área onde \sin(x) é não negativa:
A_1=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x)\,dx.
Como \displaystyle\int\sin(x)\,dx=-\cos(x), temos
A_1=\bigl[-\cos(x)\bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =-\cos(\pi)-\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) =-(-1)-\bigl(-0\bigr) =1.

Passo 4

Para a parte negativa, usamos -\sin(x):
A_2=\int_{\pi}^{2\pi}\bigl(-\sin(x)\bigr)\,dx =\bigl[\cos(x)\bigr]_{\pi}^{2\pi} =\cos(2\pi)-\cos(\pi) =1-(-1) =2.
Somando as áreas parciais:
A=A_1+A_2=1+2=3.

Resposta

3

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