Determine as equações paramétricas da curva formada pela interseção das superfícies S1 e S2:
S1: 4 y=x^2+z^2 e S2: y=x

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações paramétricas da curva que é interseção do paraboloide S1 dado por 4y = x^2 + z^2 com o plano S2 dado por y = x. Vamos usar geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Substituímos a condição do plano y = x em S1:
4y = x^2 + z^2
como y = x, temos
4x = x^2 + z^2
que é uma equação em x e z.

Passo 3

Reescrevendo a equação para identificar sua forma, movemos tudo para um lado:
x^2 - 4x + z^2 = 0
Agora completamos o quadrado em x:
(x - 2)^2 - 4 + z^2 = 0
(x - 2)^2 + z^2 = 4
Isso mostra que, em corte com o plano y=x, a curva é um círculo de centro (2,0) no plano xz e raio 2.

Passo 4

Usamos a parametrização trigonométrica do círculo de raio 2 centrado em (2,0):
x - 2 = 2cos t,
z = 2sin t
E como y = x, temos y = 2 + 2cos t. O parâmetro t varia de 0 a 2pi.

Resposta

As equações paramétricas são:
x(t) = 2 + 2cos t,
y(t) = 2 + 2cos t,
z(t) = 2sin t,
com 0 <= t < 2pi.

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