Calcule a área da região
(do plano) dada:
Interior do círculo de raio
.
Interior do círculo de raio
Passo 1
O enunciado pede a área da região
que é o interior de um círculo de raio
. Vamos usar o conceito de integral dupla para calcular áreas, e aproveitar que, em coordenadas polares, a descrição de um círculo e o elemento de área ficam bem simples.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, a área seria
, mas a região é circular, então trocamos para coordenadas polares
. Nesse sistema temos o diferencial de área
onde o fator
vem do jacobiano da passagem de
para
.
Passo 3
Agora fixamos os limites que cobrem todo o círculo de raio
:
-
varia de a . -
varia de a .
Assim a área vira
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Em seguida integramos em
:
Resposta
A área da região
é
.