Calcule a área da região R (do plano) dada:
Interior do círculo de raio R.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R que é o interior de um círculo de raio R. Vamos usar o conceito de integral dupla para calcular áreas, e aproveitar que, em coordenadas polares, a descrição de um círculo e o elemento de área ficam bem simples.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, a área seria integral duplaRdA, mas a região é circular, então trocamos para coordenadas polares (r,theta). Nesse sistema temos o diferencial de área
dA = r,dr,dtheta,
onde o fator r vem do jacobiano da passagem de (x,y) para (r,theta).

Passo 3

Agora fixamos os limites que cobrem todo o círculo de raio R:
  • r varia de 0 a R.
  • theta varia de 0 a 2pi.
    Assim a área vira
Área = integraltheta=0^2piintegralr=0^R r , dr , dtheta Á

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^Rr,dr = gl[tfracr^22gr]0^R = R^22
Em seguida integramos em theta:
integral0^2piR^22,dtheta = R^22l[,thetar]0^2pi = R^22cdot 2pi = pi R^2

Resposta

A área da região R é pi R^2.

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