Exercício 1. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 1 e 2) Ache as soluções dos problemas abaixo:
5 partial fpartial x(x, y)-2 partial fpartial y(x, y)=0, f(0,0)=0 e partial fpartial x(x, 0)=e^x, x in R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f(x,y) que satisfaz a equação em derivadas parciais
5,partial fpartial x(x,y)-2,partial fpartial y(x,y)=0
com as condições
f(0,0)=0, partial fpartial x(x,0)=e^x(xinR)
O conteúdo aqui é o método das características para PDEs de primeira ordem, que nos diz que f é constante ao longo de certas curvas (as características).

Passo 2

Escrevemos o sistema de características comparando
dx5=dy-2=df0
Da igualdade tfracdx5=tfracdy-2 segue
dydx=-25 Longrightarrow 2x+5y=constante
Como tfracdf0=0, f é constante quando 2x+5y se mantém, logo
f(x,y)=hl(2x+5yr)
para alguma função h.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em x:
partial fpartial x(x,y) =2,h'l(2x+5yr)
Na reta y=0 temos a condição partial fpartial x(x,0)=e^x, isto é,
2,h'l(2xr)=e^x Longrightarrow h'l(2xr)=12e^x

Passo 4

Para achar h, faça a troca de variável t=2x, assim x=t/2 e
h'(t)=12e^t/2
Integrando em t:
h(t)=integral 12e^t/2,dt =e^t/2+C

Passo 5

Voltemos a x,y: como t=2x+5y,
f(x,y)=h(2x+5y) =e^(2x+5y)/2+C
Usamos f(0,0)=0, ou seja e^0+C=0 C=-1. Então
f(x,y)=e^x+tfrac52y-1

Resposta

f(x,y)=e^x+52y-1

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