Exercício 1. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 1 e 2) Ache as soluções dos problemas abaixo:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
que satisfaz a equação em derivadas parciais
com as condições
O conteúdo aqui é o método das características para PDEs de primeira ordem, que nos diz que
é constante ao longo de certas curvas (as características).
Passo 2
Escrevemos o sistema de características comparando
Da igualdade
segue
Como
,
é constante quando
se mantém, logo
para alguma função
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em
:
Na reta
temos a condição
, isto é,
Passo 4
Para achar
, faça a troca de variável
, assim
e
Integrando em
:
Passo 5
Voltemos a
: como
,
Usamos
, ou seja
dá
. Então