Exercício 1. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 1 e 2) Ache as soluções dos problemas abaixo:
4 partial fpartial x(x, y)+3 partial fpartial y(x, y)=0, f(x, 0)=sen(x), x in R.

Passo 1

O enunciado é o seguinte: encontrar a função f(x,y) definida em R^2 que satisfaz a equação em derivadas parciais de primeira ordem
4,partial fpartial x(x,y) ;+;3,partial fpartial y(x,y);=;0
com a condição de contorno
f(x,0)=sin(x), xinR
O conteúdo usado é o método das características para equações do tipo
a,fx + b,fy = 0,
que nos diz que f é constante ao longo das direções dadas pelo vetor (a,b).

Passo 2

Para aplicar o método das características, consideramos o sistema de ODEs
dxdt=4, dydt=3, dfdt=0
A terceira equação dfdt=0 indica que f é constante ao longo das curvas solução de
dydx = 34.

Passo 3

Integramos
dydx = 34 Longrightarrow 4,dy - 3,dx = 0 Longrightarrow d(3x - 4y) = 0,
ou seja, a combinação 3x - 4y é invariante. Logo as características são as retas
3x - 4y = constante,
e a solução geral da PDE deve ter a forma
f(x,y) = Hl(3x - 4yr)
para alguma função H.

Passo 4

Usamos a condição de contorno f(x,0)=sin(x). Então
f(x,0) = Hl(3x - 4cdot 0r) = H(3x) overset!= sin(x)
Isso impõe
H(3x) = sin(x) Longrightarrow H(s) = sin!l(s/3r)
Portanto a solução é
f(x,y) = Hl(3x - 4yr) = sin!l((3x - 4y)/3r) = sin!l(x - tfrac43yr)

Resposta

boxedf(x,y)=sin!l(x - tfrac43yr)

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