Exercício 1. (Apostol, capítulo 9.3, exercícios 1 e 2) Ache as soluções dos problemas abaixo:
.
Passo 1
O enunciado é o seguinte: encontrar a função
definida em
que satisfaz a equação em derivadas parciais de primeira ordem
com a condição de contorno
O conteúdo usado é o método das características para equações do tipo
que nos diz que
é constante ao longo das direções dadas pelo vetor
.
Passo 2
Para aplicar o método das características, consideramos o sistema de ODEs
A terceira equação
indica que
é constante ao longo das curvas solução de
.
Passo 3
Integramos
ou seja, a combinação
é invariante. Logo as características são as retas
e a solução geral da PDE deve ter a forma
para alguma função
.
Passo 4
Usamos a condição de contorno
. Então
Isso impõe
Portanto a solução é