Calcule a área da regiao R situada no primeiro quadrante e abaixo da curva de equação y=e^{x}.
Calcule o comprimento de arco do grafico de y=x^{2}, desde o ponto (0,0) até (1,1).

Passo 1

O problema tem duas partes. Primeiro, calcular a área da região R situada no primeiro quadrante e abaixo da curva y = e^{x}. Em seguida, calcular o comprimento de arco do gráfico de y = x^{2} de (0,0) até (1,1). Para a área usaremos uma integral imprópria em x, e para o comprimento de arco aplicaremos a fórmula
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.

Passo 2

A região R no primeiro quadrante sob y=e^{x} é
R = \{(x,y)\mid x\ge0,\;0\le y\le e^{x}\}.
A área é
\text{Área}(R)=\int_{0}^{\infty} e^{x}\,dx.Á
Como
\int_{0}^{\infty} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\infty} = \lim_{X\to\infty}e^{X}-e^{0} = +\infty,
concluímos que a área de R diverge (é infinita).

Passo 3

Para o comprimento de arco de y=x^{2} de x=0 a x=1, temos y'(x)=2x e
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(2x)^{2}}\,dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1+4x^{2}}\,dx.
Usando a primitiva conhecida
\int \sqrt{1+4x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\,\operatorname{arsinh}(2x) + C,
e lembrando que \operatorname{arsinh}(2x)=\ln\bigl(2x+\sqrt{1+4x^{2}}\bigr), obtemos
L = \left[\frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2x+\sqrt{1+4x^{2}}\bigr)\right]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

A área de R é infinita.
O comprimento de arco é
L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

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