Derive a função dada
a) f(x)=\int_{-x}^{1} \frac{t^{2}-2 t}{t^{2}+2 t} d t
b) g(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada das funções definidas por integrais com limites que dependem de x. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para limites variáveis.

Passo 2

Para \displaystyle f(x)=\int_{-x}^{1}\frac{t^{2}-2t}{t^{2}+2t}\,dt temos o integrando
h(t)=\frac{t^{2}-2t}{t^{2}+2t},
o limite superior é constante e o limite inferior é a(x)=-x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite inferior variável:
f'(x)=-\,h\bigl(a(x)\bigr)\cdot a'(x)
e como a'(x)=-1, vem
f'(x)=h(-x) =\frac{(-x)^{2}-2(-x)}{(-x)^{2}+2(-x)}.

Passo 3

Agora simplificamos:
(-x)^{2}=x^{2},\quad -2(-x)=2x,\quad 2(-x)=-2x,
então
f'(x)=\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-2x} =\frac{x(x+2)}{x(x-2)} =\frac{x+2}{x-2}.

Passo 4

Para \displaystyle g(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}e^{t^{2}+1}\,dt temos o integrando
k(t)=e^{t^{2}+1},
o limite inferior é constante e o limite superior é b(x)=\sqrt{x}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite superior variável:
g'(x)=k\bigl(b(x)\bigr)\cdot b'(x)
e como b'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, segue
g'(x)=e^{(\sqrt{x})^{2}+1}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Observando que (\sqrt{x})^{2}=x, concluímos
g'(x)=\frac{e^{x+1}}{2\sqrt{x}}.

Resposta

(a) f'(x)=\displaystyle\frac{x+2}{x-2}.
(b) g'(x)=\displaystyle\frac{e^{x+1}}{2\sqrt{x}}.

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