Determine f de modo que g(f(x))=x para todo x \in D_{f}, sendo g dada por
g(x)=x^{2}-4 x+3, x \geqslant 2

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=x^{2}-4x+3,\quad x\ge2
e pede f tal que
g\bigl(f(x)\bigr)=x\quad\text{para todo }x\in D_{f}.
Isto significa que f é a inversa de g na região em que g é injetora. Vamos, portanto, encontrar a forma de g que permita extrair sua inversa, determinar o contradomínio de g (que será o domínio de f) e depois resolver g(t)=x.

Passo 2

Para achar o contradomínio de g, completamos o quadrado:
g(x)=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1.
Como x\ge2, temos (x-2)^{2}\ge0, logo
g(x)\ge -1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.
Portanto o contradomínio de g é [-1,\infty), e assim
D_{f}=[-1,\infty).

Passo 3

Para encontrar a inversa, resolvemos a equação
g(t)=t^{2}-4t+3=x.
Isto é,
t^{2}-4t+(3-x)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t=\frac{4\pm\sqrt{16-4(3-x)}}{2} =\frac{4\pm\sqrt{4+4x}}{2} =\frac{4\pm2\sqrt{x+1}}{2} =2\pm\sqrt{x+1}.

Passo 4

Como na definição de g temos a restrição t\ge2, devemos escolher o sinal “ +” em
t=2\pm\sqrt{x+1},
pois 2-\sqrt{x+1}\le2 nem sempre satisfaz t\ge2. Assim
f(x)=2+\sqrt{x+1}.

Resposta

f(x)=2+\sqrt{x+1}, \quad D_{f}=[-1,\infty).

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