Expresse z_{1}=4-4 i na forma polar.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de 0^{\circ} e 360^{\circ}.
z_{1}=\square+\stackrel{-\times}{+}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z_{1}=4-4i e pede para expressá‑lo na forma polar, em graus, com o argumento no intervalo [0^\circ,360^\circ].
Informações fornecidas:
  • Parte real: \Re(z_{1})=4.
  • Parte imaginária: \Im(z_{1})=-4.
    O que se pede:
  • Encontrar o módulo r e o ângulo \theta e escrever z_{1} na forma polar (usando graus), por exemplo como r(\cos\theta+i\sin\theta) — com \theta em [0^\circ,360^\circ].

Passo 2

Revisão das fórmulas principais (passo-a-passo e explicado como se estivesse na prova).
  • Um número complexo qualquer é \,z=x+iy, onde x é a parte real e y a parte imaginária.
  • O módulo (distância ao zero) é dado por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x e y são números reais; o símbolo \sqrt{\cdot} indica raiz quadrada.
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor (x,y) faz com o eixo positivo dos x. Uma forma prática de obtê‑lo é usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
quando x\neq0, mas é preciso ajustar o resultado da função \arctan conforme o quadrante de (x,y), pois \arctan dá um ângulo entre -90^\circ e 90^\circ. Regras rápidas de ajuste:
  • Se x>0, então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) (e, se esse valor for negativo, pode-se somar 360^\circ para ficar no intervalo pedido).
  • Se x<0, somar 180^\circ ao valor de \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
  • Se x=0, usar \theta=90^\circ se y>0 ou \theta=270^\circ se y<0.
    Finalmente, a forma polar (forma trigonométrica) é
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr).
Explicação curta: r escala o vetor unitário e \theta orienta-no; essa forma é muito útil em multiplicações e potências de complexos.

Passo 3

Calcular o módulo r para z_{1}=4-4i. Aqui x=4 e y=-4. Aplicando a fórmula do módulo:
r=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}.
Simplificando \sqrt{32}: 32=16\cdot2, então
r=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}.
Portanto o módulo é r=4\sqrt{2}. Isso é um valor exato e simples de memorizar: quando as componentes são iguais em módulo, o módulo final é aquela componente vezes \sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Primeiro calcule o quociente y/x:
\frac{y}{x}=\frac{-4}{4}=-1.
Então
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan(-1)=-45^\circ.
Mas esse valor -45^\circ está fora do intervalo desejado [0^\circ,360^\circ]. Precisamos também verificar em que quadrante está o ponto (x,y)=(4,-4): x>0 e y<0, logo o ponto está no quarto quadrante. No quarto quadrante um ângulo equivalente positivo é obtido somando 360^\circ ao ângulo negativo:
\theta=-45^\circ+360^\circ=315^\circ.
Assim \theta=315^\circ, que está dentro do intervalo pedido e é um valor exato (igual a 360^\circ-45^\circ).

Passo 5

Escrever z_{1} na forma polar usando os valores encontrados. Substituindo r=4\sqrt{2} e \theta=315^\circ na forma trigonométrica:
z_{1}=4\sqrt{2}\bigl(\cos 315^\circ + i\sin 315^\circ\bigr).
Também é comum (e equivalente) escrever em forma exponencial de Euler:
z_{1}=4\sqrt{2}\,e^{i\,315^\circ}.

Resposta

z_{1}=4\sqrt{2}\bigl(\cos 315^\circ + i\sin 315^\circ\bigr)
z_{1}=4\sqrt{2}\,e^{i\,315^\circ}

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