Expresse
na forma polar.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de
e
.
Expresse a resposta em termos exatos, usando graus, de forma que seu ângulo esteja no intervalo inclusivo de
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para expressá‑lo na forma polar, em graus, com o argumento no intervalo
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
O que se pede: - Encontrar o módulo
e o ângulo e escrever na forma polar (usando graus), por exemplo como — com em .
Passo 2
Revisão das fórmulas principais (passo-a-passo e explicado como se estivesse na prova).
- Um número complexo qualquer é
, onde é a parte real e a parte imaginária. - O módulo (distância ao zero) é dado por
Aqui
e
são números reais; o símbolo
indica raiz quadrada.
- O argumento
é o ângulo que o vetor faz com o eixo positivo dos . Uma forma prática de obtê‑lo é usar
quando
, mas é preciso ajustar o resultado da função
conforme o quadrante de
, pois
dá um ângulo entre
e
. Regras rápidas de ajuste:
- Se
, então (e, se esse valor for negativo, pode-se somar para ficar no intervalo pedido). - Se
, somar ao valor de . - Se
, usar se ou se .
Finalmente, a forma polar (forma trigonométrica) é
Explicação curta:
escala o vetor unitário e
orienta-no; essa forma é muito útil em multiplicações e potências de complexos.
Passo 3
Calcular o módulo
para
. Aqui
e
. Aplicando a fórmula do módulo:
Simplificando
:
, então
Portanto o módulo é
. Isso é um valor exato e simples de memorizar: quando as componentes são iguais em módulo, o módulo final é aquela componente vezes
.
Passo 4
Calcular o argumento
. Primeiro calcule o quociente
:
Então
Mas esse valor
está fora do intervalo desejado
. Precisamos também verificar em que quadrante está o ponto
:
e
, logo o ponto está no quarto quadrante. No quarto quadrante um ângulo equivalente positivo é obtido somando
ao ângulo negativo:
Assim
, que está dentro do intervalo pedido e é um valor exato (igual a
).
Passo 5
Escrever
na forma polar usando os valores encontrados. Substituindo
e
na forma trigonométrica:
Também é comum (e equivalente) escrever em forma exponencial de Euler: