(2,5) Calcule a área da região simultaneamente interior às circunferências cujas equações em coordenadas polares são r=4 cos (theta) e r=4 sen(theta):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está dentro das duas circunferências dadas pelas equações em coordenadas polares: $ r = 4 \cos(\theta) $ e $ r = 4 \sin(\theta) $. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo em coordenadas polares para resolver isso. Vamos precisar encontrar onde essas circunferências se interceptam e, então, calcular a área dessa sobreposição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas circunferências se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
4 cos(theta) = 4 sin(theta)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
cos(theta) = sin(theta)

Passo 3

Agora, queremos resolver para theta. Sabemos que cos(theta) = sin(theta) quando theta = pi4 e theta = 5pi4. Mas, como estamos trabalhando apenas com 0 <= theta <= pi2 para essas circunferências, o ponto de interseção relevante é theta = pi4.

Passo 4

Com o ponto de interseção encontrado, podemos agora calcular a área da região sobreposta. Em coordenadas polares, a área A de uma região entre theta = a e theta = b é dada por:
A = 12 integrala^b [r(theta)]^2 dtheta
Como temos duas circunferências, vamos calcular a área de cada uma até o ponto de interseção e depois somá-las.

Passo 5

Primeiro, calculamos a área da circunferência $ r = 4 \cos(\theta) $ de r = 4 cos(theta) a theta = 0:
theta = pi4
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
A1 = 12 integral0^pi4 (4 cos(theta))^2 dtheta = 12 integral0^pi4 16 cos^2(theta) dtheta = 8 integral0^pi4 cos^2(theta) dtheta
Calculando:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Fazemos o mesmo para a circunferência $ r = 4 \sin(\theta) $:
A1 = 8 integral0^pi4 1 + cos(2theta)2 dtheta = 4 integral0^pi4 (1 + cos(2theta)) dtheta = 4 [ theta + sin(2theta)2 ]0^pi4

Resposta

A área da região sobreposta às duas circunferências é $ 2\pi + 4 $ unidades de área.

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