Calcule a área da região simultaneamente interior às circunferências cujas equações em coordenadas polares são
e
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da região que está dentro das duas circunferências dadas pelas equações em coordenadas polares: $ r = 4 \cos(\theta) $ e $ r = 4 \sin(\theta) $. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo em coordenadas polares para resolver isso. Vamos precisar encontrar onde essas circunferências se interceptam e, então, calcular a área dessa sobreposição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas circunferências se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Passo 3
Agora, queremos resolver para
. Sabemos que
quando
e
. Mas, como estamos trabalhando apenas com
para essas circunferências, o ponto de interseção relevante é
.
Passo 4
Com o ponto de interseção encontrado, podemos agora calcular a área da região sobreposta. Em coordenadas polares, a área
de uma região entre
e
é dada por:
Como temos duas circunferências, vamos calcular a área de cada uma até o ponto de interseção e depois somá-las.
Passo 5
Primeiro, calculamos a área da circunferência $ r = 4 \cos(\theta) $ de
a
:
Usando a identidade trigonométrica $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
Calculando:
Fazemos o mesmo para a circunferência $ r = 4 \sin(\theta) $:
Resposta
A área da região sobreposta às duas circunferências é $ 2\pi + 4 $ unidades de área.