Quais séries abaixo convergem absolutamente, convergem e quais divergem?
sumn=1^+infty n+2^nn^2 n^n

Passo 1

Enunciado: Vamos analisar a série de termos positivos
an = n + 2^nn^2,n^n = n + 2^nn^n+2
Conteúdo: convergência de séries de termos positivos usando o teste da razão.

Passo 2

No teste da razão, calculamos
L = limntoinfty an+1an
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Cálculo da razão:
an+1an = (n+1)+2^n+1(n+1)^n+3 ;/; n+2^nn^n+2 = n^n+2(n+1)^n+3 cdot (n+1)+2^n+1n+2^n

Passo 4

Agora avaliamos o primeiro fator:
n^n+2(n+1)^n+3 = l(nn+1r)^n cdot n^2(n+1)^3
Sabemos que l(tfracnn+1r)^nto e^-1 e tfracn^2(n+1)^3to0, então esse fator tende a 0.

Passo 5

O segundo fator
(n+1)+2^n+1n+2^n = n+1n+2^n + 2,2^nn+2^n
é limitado (tende a 2). Como o primeiro fator vai a 0, o produto todo satisfaz
limntoinftyan+1an = 0 < 1

Passo 6

Conclusão: pelo teste da razão com L=0<1, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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