Se
e
são, respectivamente, os vallores de mínimo e máximo absoluto da função
na região retangular fechada
, então
é?
10 7 9 4 11
10 7 9 4 11
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores mínimo (
) e máximo (
) da função
dentro da região retangular
. Depois disso, precisamos somar esses valores, ou seja, calcular
. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função dentro dos limites dados e verificar onde ela atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar os valores mínimo e máximo de uma função em uma região fechada e limitada, como nosso retângulo
, precisamos verificar os pontos críticos dentro da região e também os valores nas bordas da região.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos críticos da função
. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o primeiro equacionamento
, podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
ou seja,
Vamos analisar cada caso.
Passo 5
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação
, temos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação
, temos:
No entanto, nosso intervalo para
é
, e
está fora desse intervalo. Portanto, não há pontos críticos nesse caso dentro da região
.
Passo 6
Agora que encontramos apenas um ponto crítico dentro da região, que é
, vamos avaliar a função nesse ponto:
Passo 7
Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas da região retangular
. As bordas são onde
,
,
, e
.
1. Quando
:
Essa é uma função quadrática em
. O mínimo ocorre no vértice da parábola:
Avaliar em
:
Verificando nas extremidades
e
:
2. Quando
:
Igual ao caso anterior, o mínimo é 4.75 e os extremos nas bordas são 5 e 7.
3. Quando
:
Já vimos que os únicos pontos possíveis seriam fora do intervalo para , então já consideramos esse caso.
Já vimos que os únicos pontos possíveis seriam fora do intervalo para
4. Quando
:
Essa é uma função quadrática em
. O mínimo ocorre em
:
E nas extremidades
e
:
Passo 8
Agora, resumindo os valores encontrados:
- Ponto crítico
: - Bordas:
-
e variam entre 4.75 e 7 -
varia entre 5 e 7
-
Portanto, o valor mínimo absoluto da função na região
é
, e o valor máximo absoluto é
.