Se m e M são, respectivamente, os vallores de mínimo e máximo absoluto da função f(x, y)= x^2+y^2+x^2 y+4 na região retangular fechada D=(x, y) in R^2:-1 <= x <= 1,-1 <= y <= 1, então m+M é?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores mínimo ( m) e máximo ( M) da função f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2y + 4 dentro da região retangular D = (x, y) in R^2 : -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1. Depois disso, precisamos somar esses valores, ou seja, calcular m + M. Para resolver isso, vamos precisar analisar a função dentro dos limites dados e verificar onde ela atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar os valores mínimo e máximo de uma função em uma região fechada e limitada, como nosso retângulo D, precisamos verificar os pontos críticos dentro da região e também os valores nas bordas da região.

Passo 3

Vamos começar encontrando os pontos críticos da função f(x, y). Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a x:
fx = partial fpartial x = 2x + 2xy
A derivada parcial em relação a y:
fy = partial fpartial y = 2y + x^2
Então, temos o sistema de equações:
2x + 2xy = 0 2y + x^2 = 0

Passo 4

Resolvendo o primeiro equacionamento 2x + 2xy = 0, podemos fatorar:
2x(1 + y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. 1 + y = 0 ou seja, y = -1
Vamos analisar cada caso.

Passo 5

Caso 1: x = 0
Substituindo x = 0 na segunda equação 2y + x^2 = 0, temos:
2y + 0 = 0 Rightarrow y = 0
Então, temos um ponto crítico em (0, 0).
Caso 2: y = -1
Substituindo y = -1 na segunda equação 2y + x^2 = 0, temos:
2(-1) + x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = raiz2 ou x = -raiz2
No entanto, nosso intervalo para x é -1 <= x <= 1, e raiz2 approx 1.414 está fora desse intervalo. Portanto, não há pontos críticos nesse caso dentro da região D.

Passo 6

Agora que encontramos apenas um ponto crítico dentro da região, que é (0, 0), vamos avaliar a função nesse ponto:
f(0, 0) = 0^2 + 0^2 + 0^2 cdot 0 + 4 = 4

Passo 7

Em seguida, precisamos avaliar a função nas bordas da região retangular D. As bordas são onde x = -1, x = 1, y = -1, e y = 1.
1. Quando x = -1:
f(-1, y) = (-1)^2 + y^2 + (-1)^2y + 4 = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5
Essa é uma função quadrática em y. O mínimo ocorre no vértice da parábola:
y = -b2a = -12 cdot 1 = -0.5
Avaliar em y = -0.5:
f(-1, -0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) + 5 = 0.25 - 0.5 + 5 = 4.75
Verificando nas extremidades y = -1 e y = 1:
f(-1, -1) = 1 + 1 + (-1) + 4 = 5
f(-1, 1) = 1 + 1 + 1 + 4 = 7
2. Quando x = 1:
f(1, y) = 1^2 + y^2 + 1^2y + 4 = 1 + y^2 + y + 4 = y^2 + y + 5
Igual ao caso anterior, o mínimo é 4.75 e os extremos nas bordas são 5 e 7.
3. Quando y = -1:
Já vimos que os únicos pontos possíveis seriam fora do intervalo para x, então já consideramos esse caso.
4. Quando y = 1:
f(x, 1) = x^2 + 1^2 + x^2(1) + 4 = x^2 + 1 + x^2 + 4 = 2x^2 + 5
Essa é uma função quadrática em x. O mínimo ocorre em x = 0:
f(0, 1) = 2(0)^2 + 5 = 5
E nas extremidades x = -1 e x = 1:
f(-1, 1) = 2(1) + 5 = 7
f(1, 1) = 2(1) + 5 = 7

Passo 8

Agora, resumindo os valores encontrados:
  • Ponto crítico (0, 0): f(0, 0) = 4
  • Bordas:
    • f(-1, y) e f(1, y) variam entre 4.75 e 7
    • f(x, 1) varia entre 5 e 7
Portanto, o valor mínimo absoluto da função na região D é m = 4, e o valor máximo absoluto é M = 7.

Resposta

m + M = 4 + 7 = 11

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