Se f(x, y)=x e^y então a derivada direcional de f na direção do vetor v=lang<=-raiz22, raiz22rang<= no ponto (2,0) é?
square
3 raiz22
square
-raiz22 raiz2
(1) raiz22 -raiz2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x e^y no ponto (2,0) na direção do vetor unitário vec v=lang<= -tfracraiz22,,tfracraiz22rang<=. Isso cai em conteúdo de derivada direcional, onde precisamos do gradiente de f e depois fazer produto escalar com vec v.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. Lembrando que nabla f(x,y) = l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial yr):
partial fpartial x = e^y, partial fpartial y = x e^y
Logo,
nabla f(x,y) = l(e^y,,x e^yr)

Passo 3

Avaliando o gradiente no ponto (2,0):
nabla f(2,0) = l(e^0,,2 e^0r) = (1,2)

Passo 4

Agora, a derivada direcional de f na direção vec v é o produto escalar entre nabla f(2,0) e vec v:
Dvec vf(2,0) = nabla f(2,0) cdot vec v = (1,2) cdot l(-tfracraiz22,,tfracraiz22r)
Calculando:
Dvec vf(2,0) = 1cdotl(-tfracraiz22r) + 2cdotl(tfracraiz22r) = -tfracraiz22 + tfrac2raiz22 = tfracraiz22

Resposta

tfracraiz22

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