Calcule a Área das Regiões Abaixo
Região fechada definida pelas curvas f(x)=x^2+2 x-1 e g(x)=2 x^2-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região fechada pelas curvas f(x)=x^2+2x-1 e g(x)=2x^2-4. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas: a gente vai precisar achar onde elas se intersectam e depois integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção a gente resolve f(x)=g(x):
x^2+2x-1=2x^2-4
Reorganizando:
0=2x^2 -4 - x^2 -2x +1 = x^2 -2x -3
Aplicando a fórmula de Bhaskara em x^2-2x-3=0, vem x=3 ou x=-1.

Passo 3

Agora é preciso ver qual curva fica por cima entre -1 e 3. Se a gente testar x=0, dá f(0)=-1 e g(0)=-4, logo f(x) está acima de g(x) nesse intervalo.

Passo 4

Pela teoria de áreas, a área entre duas curvas de x=-1 a x=3 é
A=integral-1^3l(f(x)-g(x)r),dx
Começando pela diferença:
f(x)-g(x)=(x^2+2x-1)-(2x^2-4)=-x^2+2x+3
Então montamos a integral:
A=integral-1^3(-x^2+2x+3),dx
A antiderivada de -x^2+2x+3 é
F(x)=-x^33+x^2+3x

Passo 5

Basta avaliar de -1 a 3:
F(3)=-273+9+9=-9+18=9
F(-1)=--13+1-3=13-2=-53
Então
A=F(3)-F(-1)=9-l(-tfrac53r)=9+tfrac53=tfrac27+53=tfrac323

Passo 6

Pronto! A área da região fechada é tfrac323.

Resposta

323

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