Seja g(x)=integral sen(x)x d x^22 (por rigor, definimos o integrando como 1 quando x=0 )
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada de g circ x^2, isto é, d g(x^2)d x

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função definida por uma integral e queremos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto à regra da cadeia para calcular ddxl[g(x^2)r]. O conteúdo principal é: integral definida e regra da cadeia.

Passo 2

Reconhecemos que g(x) está dada por uma integral de 0 até x de sin(t)t,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de g(x) é exatamente o integrando avaliado em x:
g'(x)=sin(x)x

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para h(x)=g(x^2). Se h(x)=g(u) com u=x^2, então
h'(x)=g'(u)cdot u' = g'(x^2)cdot 2x

Passo 4

Substituímos g'(x^2)=sin(x^2)x^2 na expressão de h'(x). Assim,
h'(x)=2xcdot sin(x^2)x^2=2sin(x^2)x

Resposta

ddxl[g(x^2)r]=2sin(x^2)x.

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