Suponha que a densidade de probabilidade em x seja definida pela função p(x)=A sen^2(x) para 0 <= x <= pi.
Calcule a probabilidade do evento ocorrer no intervalo [pi / 4, pi / 2]

Passo 1

A questão dá uma densidade de probabilidade p(x)=Asin^2(x) no intervalo [0,pi] e pede a probabilidade de x estar em [pi/4,pi/2]. Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar o valor de A normalizando a PDF e depois calcular a integral de p(x) nesse intervalo.

Passo 2

Como uma densidade de probabilidade deve satisfazer integral0^pi p(x),dx=1, temos
integral0^pi Asin^2(x),dx = Aintegral0^pi sin^2(x),dx = Acdotpi2 =1,
onde usamos a identidade
integral0^pi sin^2(x),dx = integral0^pi 1-cos(2x)2,dx = l[x2-sin(2x)4r]0^pi = pi2
Portanto
A = 2pi

Passo 3

Agora a probabilidade desejada é
Pl(pi/4 <= x <= pi/2r) = integralpi/4^pi/2 p(x),dx = 2piintegralpi/4^pi/2sin^2(x),dx
Calculando a integral
integralpi/4^pi/2sin^2(x),dx = l[x2-sin(2x)4r]pi/4^pi/2 = pi8 + 14
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P = 2pil(pi8+14r) = 14 + 12pi = pi+24pi

Resposta

pi+24pi

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