Use o teorema de Stokes para calcular
onde
, e
é a circunferência de raio 4 no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma circunferência
de raio 4 no plano
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Stokes que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
O que precisamos:
- Entender o que é o Teorema de Stokes.
- Calcular o rotacional (
) do campo vetorial. - Escolher uma superfície
cujo bordo é . - Calcular a integral de superfície do rotacional sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha do campo
ao longo de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como bordo.
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos começar calculando o rotacional do campo vetorial
. O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha
como bordo. Como
é uma circunferência no plano
, a superfície mais simples é justamente o próprio disco no plano
com raio 4.
A normal a essa superfície,
, será perpendicular ao plano
. Como o plano está horizontal, a normal será na direção do eixo
. Vamos escolher a normal apontando para cima, então
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície
.
Já temos
e
.
O produto escalar
será:
Então, a integral de superfície simplifica para:
Como a superfície está no plano
,
é constante, então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a área do disco
de raio 4. A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio.
Então:
Passo 7
Voltando à integral, temos:
Resposta
A integral
vale
.