Use o teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r onde F=(yz, 2 xz, e^xy), e C é a circunferência de raio 4 no plano z=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F = (yz, 2xz, e^xy) ao longo de uma circunferência C de raio 4 no plano z = 5.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Stokes que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
O que precisamos:
  • Entender o que é o Teorema de Stokes.
  • Calcular o rotacional ( nabla times F) do campo vetorial.
  • Escolher uma superfície S cujo bordo é C.
  • Calcular a integral de superfície do rotacional sobre S.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha do campo F ao longo de C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como bordo. n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos começar calculando o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y e^xy = x e^xy
  2. partial Fypartial z = partialpartial z (2xz) = 2x
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z (yz) = y
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x e^xy = y e^xy
  5. partial Fypartial x = partialpartial x (2xz) = 2z
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y (yz) = z
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = ( x e^xy - 2x, y - y e^xy, 2z - z ) = ( x e^xy - 2x, y(1 - e^xy), z )

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S que tenha C como bordo. Como C é uma circunferência no plano z = 5, a superfície mais simples é justamente o próprio disco no plano z = 5 com raio 4.
A normal a essa superfície, n, será perpendicular ao plano z = 5. Como o plano está horizontal, a normal será na direção do eixo z. Vamos escolher a normal apontando para cima, então n = (0, 0, 1).

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS.
Já temos nabla times F = ( x e^xy - 2x, y(1 - e^xy), z ) e n = (0, 0, 1).
O produto escalar (nabla times F) cdot n será:
(x e^xy - 2x) cdot 0 + y(1 - e^xy) cdot 0 + z cdot 1 = z
Então, a integral de superfície simplifica para:
integral duplaS z , dS
Como a superfície está no plano z = 5, z = 5 é constante, então:
integral duplaS z , dS = 5 integral duplaS dS = 5 cdot área de S á

Passo 6

Agora, precisamos calcular a área do disco S de raio 4. A área de um círculo é dada por pi r^2, onde r é o raio.
Então:
Área de S = pi (4)^2 = 16pi Á

Passo 7

Voltando à integral, temos:
5 cdot área de S = 5 cdot 16pi = 80pi á

Resposta

A integral ointC F cdot d r vale 80pi.

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