Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
8.
y=x^{3}-x, \quad y=0

Passo 1

O enunciado dá as curvas \,y = x^{3} - x\, e \,y = 0\, e pede: calcular a área das regiões limitadas por essas curvas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \,y = x^{3} - x\, e \,y = 0\,.
Pergunta a responder: qual é a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas duas curvas?

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas, isto é, resolver \,x^{3}-x=0\,. Vou factorar o polinômio:
x^{3}-x = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).
As raízes são \,x=-1,\;x=0,\;x=1\,. Portanto as curvas se encontram em (-1,0), (0,0) e (1,0).

Passo 3

Precisamos saber em que intervalos a função \,f(x)=x^{3}-x\, está acima ou abaixo do eixo x, porque a área entre a curva e o eixo é a integral do valor absoluto de f. Vamos analisar o sinal em cada intervalo entre as raízes:
  • Para x\in(-1,0) tomo x=-\tfrac{1}{2}: \,f(-\tfrac{1}{2})=(-\tfrac{1}{8})-(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{8}>0\,. Logo f>0 em (-1,0).
  • Para x\in(0,1) tomo x=\tfrac{1}{2}: \,f(\tfrac{1}{2})=(\tfrac{1}{8})-(\tfrac{1}{2})=-\tfrac{3}{8}<0\,. Logo f<0 em (0,1).
Observação útil (simetria): a função \,f(x)=x^{3}-x\, é ímpar, pois \,f(-x)=-f(x). Isso faz com que as áreas entre -1 e 0 e entre 0 e 1 tenham o mesmo valor (mesma forma espelhada).

Passo 4

Regra para área entre uma curva e o eixo x: a área entre y=f(x) e y=0 no intervalo [a,b] é \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx. Como f muda de sinal em x=0, dividimos em dois integrais:
\text{Área}=\int_{-1}^{0} (x^{3}-x)\,dx \;+\; \int_{0}^{1} -(x^{3}-x)\,dx.Á
Usando a simetria (ou simplesmente fatorando o sinal), isso equivale a
\text{Área}=2\int_{0}^{1} \bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx,Á
porque em (0,1) temos |x^{3}-x|=-(x^{3}-x)=x-x^{3}.

Passo 5

Calcular o integral elementar. A primitiva de x é \tfrac{x^{2}}{2} e a primitiva de x^{3} é \tfrac{x^{4}}{4}. Então
\int_{0}^{1} \bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx = \left[\tfrac{x^{2}}{2} - \tfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \left(\tfrac{1^{2}}{2}-\tfrac{1^{4}}{4}\right) - (0-0) = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.
Cada uma das duas partes (de -1 a 0 e de 0 a 1) tem área \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Somando as duas áreas (as partes simétricas), a área total limitada pelas curvas é a soma de \tfrac{1}{4} com \tfrac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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