Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
8.
8.
Passo 1
O enunciado dá as curvas
e
e pede: calcular a área das regiões limitadas por essas curvas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: e
.
Pergunta a responder: qual é a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas duas curvas?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Pergunta a responder: qual é a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas duas curvas?
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas, isto é, resolver
. Vou factorar o polinômio:
As raízes são
. Portanto as curvas se encontram em
,
e
.
Passo 3
Precisamos saber em que intervalos a função
está acima ou abaixo do eixo
, porque a área entre a curva e o eixo é a integral do valor absoluto de
. Vamos analisar o sinal em cada intervalo entre as raízes:
- Para
tomo : . Logo em . - Para
tomo : . Logo em .
Observação útil (simetria): a função
é ímpar, pois
. Isso faz com que as áreas entre
e
e entre
e
tenham o mesmo valor (mesma forma espelhada).
Passo 4
Regra para área entre uma curva e o eixo
: a área entre
e
no intervalo
é
. Como
muda de sinal em
, dividimos em dois integrais:
Usando a simetria (ou simplesmente fatorando o sinal), isso equivale a
porque em
temos
.
Passo 5
Calcular o integral elementar. A primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Então
Cada uma das duas partes (de
a
e de
a
) tem área
.
Passo 6
Somando as duas áreas (as partes simétricas), a área total limitada pelas curvas é a soma de
com
.