Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
6.
x+y=3, \quad y+x^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x+y=3 e y+x^{2}=3.
Informações dadas:
x+y=3
y+x^{2}=3
O que precisamos encontrar: a área da região fechada onde essas duas curvas se intersectam.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção das curvas. Da primeira equação isolamos y:
y=3-x.
Substituímos esse y na segunda equação y+x^{2}=3:
(3-x)+x^{2}=3.
Agora simplificamos essa equação para encontrar x:
3-x+x^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x=0.
Fatorando:
x(x-1)=0,
logo as soluções são x=0 e x=1. Calculamos y nesses x usando y=3-x:
x=0 \Rightarrow y=3 \quad\text{(ponto }(0,3)),
x=1 \Rightarrow y=2 \quad\text{(ponto }(1,2)).

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo entre x=0 e x=1. Escrevemos as duas funções explícitas:
\text{reta: } y_{\text{reta}}=3-x,
\text{parábola: } y_{\text{par}}=3-x^{2}.á
Calculamos a diferença y_{\text{reta}}-y_{\text{par}}:
y_{\text{reta}}-y_{\text{par}}=(3-x)-(3-x^{2})= -x + x^{2}=x(x-1).
No intervalo 0<x<1 temos x(x-1)<0, ou seja y_{\text{reta}}<y_{\text{par}}. Portanto, entre x=0 e x=1 a parábola y=3-x^{2} está acima da reta y=3-x. Isso é importante porque a área entre curvas é sempre a integral da função “superior” menos a “inferior”.

Passo 4

Usamos a fórmula da área entre duas curvas quando estamos integrando em relação a x:
\text{Área}=\int_{a}^{b} \bigl(y_{\text{superior}}(x)-y_{\text{inferior}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=0 e b=1, y_{\text{superior}}=3-x^{2} e y_{\text{inferior}}=3-x. Montamos a integral:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl((3-x^{2})-(3-x)\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Simplificamos o integrando antes de integrar:
(3-x^{2})-(3-x)= -x^{2}+x = x-x^{2}.
Portanto
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Agora integramos termo a termo. Lembrando que \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2} e \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, temos
\text{Área}=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}.Á

Passo 6

Avaliamo o valor na borda superior x=1 e subtraímos o valor na borda inferior x=0:
\text{Área}=\left(\dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{1^{3}}{3}\right)-\left(\dfrac{0^{2}}{2}-\dfrac{0^{3}}{3}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}.Á
Fazendo a subtração com denominador comum 6:
\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}.
A área é positiva e igual a \dfrac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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