Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
6.
6.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a área da região fechada onde essas duas curvas se intersectam.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção das curvas. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação
:
Agora simplificamos essa equação para encontrar
:
Fatorando:
logo as soluções são
e
. Calculamos
nesses
usando
:
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo entre
e
. Escrevemos as duas funções explícitas:
Calculamos a diferença
:
No intervalo
temos
, ou seja
. Portanto, entre
e
a parábola
está acima da reta
. Isso é importante porque a área entre curvas é sempre a integral da função “superior” menos a “inferior”.
Passo 4
Usamos a fórmula da área entre duas curvas quando estamos integrando em relação a
:
Aqui
e
,
e
. Montamos a integral:
Passo 5
Simplificamos o integrando antes de integrar:
Portanto
Agora integramos termo a termo. Lembrando que
e
, temos
Passo 6
Avaliamo o valor na borda superior
e subtraímos o valor na borda inferior
:
Fazendo a subtração com denominador comum
:
A área é positiva e igual a
.