Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
f(x)=sen(x), x=0 e x=2 pi

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da região limitada pelas curvas f(x)=sen(x), o eixo x e as retas x=0 e x=2π. O conteúdo usado será integrais definidas e o tratamento de função que muda de sinal.

Passo 2

Determinamos onde sin(x)=0 no intervalo [0,2π]: em x=0, x=π e x=2π. Assim dividimos o cálculo em dois subintervalos: [0,π] onde sin(x)≥0 e [π,2π] onde sin(x)≤0.

Passo 3

Para obter a área total usamos a fórmula
∫₀^π sin(x) dx + ∫_π^{2π} |sin(x)| dx.
Como sin(x) é negativo em (π,2π), temos |sin(x)|=−sin(x) nesse segundo intervalo.

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = (−cos(π)) − (−cos(0)) = (−(−1)) − (−1) = 2.

Passo 5

Calculamos a segunda integral:
∫_π^{2π} (−sin(x)) dx = [cos(x)]_π^{2π} = cos(2π) − cos(π) = 1 − (−1) = 2.

Passo 6

Somamos as áreas obtidas nos dois trechos: 2 + 2 = 4.

Resposta

4

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