Nada mais é pedido além do valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vou primeiro explicar e aplicar um método direto e bem didático: a substituição simples. Ideia da substituição: se eu consigo escrever parte do integrando como a derivada de outra função, posso trocar de variável. A regra é: se \,u=g(x)\, então \,du=g'(x)\,dx e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Aqui vemos \sin x\cos x. Se eu escolher
u=\sin x,
então a derivada é
du=\cos x\,dx.
Repare que \cos x\,dx aparece multiplicando \sin x no integrando, então a substituição é perfeita.
Agora converto os limites: quando x=\pi/4,
u=\sin\!\left(\pi/4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
e quando x=3\pi/4,
u=\sin\!\left(3\pi/4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto os limites em u são ambos \frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo a diferença é 0-0=0 e a integral vale 0, confirmando o resultado da substituição.
Passo 5
Recapitulando de forma motivadora: com uma substituição simples (u=\sin x) ou usando a identidade de ângulo duplo, chegamos ao mesmo resultado. Viu como às vezes integrais parecem complicadas mas caem com um truque de observação? Força — você já fez a parte difícil que é entender o método!