Resolva as integrais definidas
\int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \sin x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin x \cos x \, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sin x\cos x,\qquad \text{limites: }x=\pi/4\\ \text{até}\\ x=3\pi/4.é
Nada mais é pedido além do valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vou primeiro explicar e aplicar um método direto e bem didático: a substituição simples. Ideia da substituição: se eu consigo escrever parte do integrando como a derivada de outra função, posso trocar de variável. A regra é: se \,u=g(x)\, então \,du=g'(x)\,dx e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Aqui vemos \sin x\cos x. Se eu escolher
u=\sin x,
então a derivada é
du=\cos x\,dx.
Repare que \cos x\,dx aparece multiplicando \sin x no integrando, então a substituição é perfeita.
Agora converto os limites: quando x=\pi/4,
u=\sin\!\left(\pi/4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
e quando x=3\pi/4,
u=\sin\!\left(3\pi/4\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto os limites em u são ambos \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Com a substituição a integral fica
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin x\cos x\,dx=\int_{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}^{u=\frac{\sqrt{2}}{2}} u\,du.
A função integranda em u é u. A primitiva de u é
\int u\,du=\frac{1}{2}u^{2}.
Agora avalio entre os limites (os dois iguais):
\left.\frac{1}{2}u^{2}\right|_{u=\frac{\sqrt{2}}{2}}^{u=\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=0.

Passo 4

Para reforçar e ensinar outra técnica útil, mostro um método alternativo usando identidade trigonométrica. Sabemos a identidade de ângulo duplo
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
logo
\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin(2x).
Substituindo na integral,
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin x\cos x\,dx =\frac{1}{2}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin(2x)\,dx.
A primitiva de \sin(2x) é dada pela regra da cadeia: como \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x), temos
\int \sin(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(2x).
Portanto
\frac{1}{2}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\sin(2x)\,dx =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} =-\frac{1}{4}\big(\cos(2\cdot 3\pi/4)-\cos(2\cdot \pi/4)\big).
Calculo os cossenos:
\cos\!\left(2\cdot\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0, \qquad \cos\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Logo a diferença é 0-0=0 e a integral vale 0, confirmando o resultado da substituição.

Passo 5

Recapitulando de forma motivadora: com uma substituição simples ( u=\sin x) ou usando a identidade de ângulo duplo, chegamos ao mesmo resultado. Viu como às vezes integrais parecem complicadas mas caem com um truque de observação? Força — você já fez a parte difícil que é entender o método!

Resposta

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