Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Curvas fornecidas:
-
. -
(reta que passa pela origem com inclinação ). -
(eixo , reta vertical).
-
- O que é pedido: calcular a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas curvas (isto é, a região fechada formada por essas três curvas).
Passo 2
Identificar os pontos de interseção que fecham a região.
- Interseção entre
e : substituindo obtemos . Logo ponto . - Interseção entre
e : com e obtemos . Logo ponto . - Interseção entre
e : resolver Testando valores simples: para a direita vale portanto é solução. Assim existe o ponto .
Para garantir que essa é a única interseção relevante entre
e
, considere a função
Temos
e
. Além disso
para
(pois
é não negativa aí e o termo
garante negatividade), logo
é estritamente decrescente e a raiz encontrada é única nesse intervalo. Portanto os vértices da região fechada são
,
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de
que define a região.
No intervalo
a curva
tem valor em
igual a
e em
igual a
; a reta
vai de
até
. Portanto, para
vale
ou seja, a cosseno é a função superior e
a inferior entre
e
.
Passo 4
Escrever a expressão de área entre duas curvas e explicar a fórmula.
Se duas curvas
e
delimitam uma região verticalmente entre
e
, a área dessa região é
Aqui
,
, e os limites em
são
e
. Logo
Passo 5
Calcular a integral termo a termo, mostrando cada passo.
Primeiro a integral de
. Usar que
(isto vem da regra da cadeia invertida). Aqui
. Assim
Como
e
, resulta
Agora a integral de
:
Passo 6
Subtrair as integrais para obter a área e simplificar.
Podemos checar rapidamente que esse valor é positivo:
, e
, então faz sentido.