- Escreva
como uma integral iterada, se a região de integração é o quadrilátero
no plano
com vértices
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: escrever
como uma integral iterada (ou seja, transformar a integral dupla sobre a região em uma integral iterada com limites explícitos). - A região
é o quadrilátero com vértices e . Vou chamar esses vértices, somente para referência, de: -
, -
, -
, -
.
-
Informações úteis extraídas do enunciado (asimiladas, sem começar a resolver):
- Há dois lados verticais: em
(entre e ) e em (entre e ). - Os outros dois lados são segmentos oblíquos que ligam
a (lado superior oblíquo) e a (lado inferior oblíquo).
Passo 2
Encontrar as equações das retas que formam os lados oblíquos (vai ser necessário para os limites).
Primeiro o lado superior, passando por
e
. Calcular a inclinação
:
Equação em forma ponto-inclinação usando
:
Vou chamar essa função de
. Ou seja,
Agora o lado inferior, passando por
e
. A inclinação é
Equação usando
:
Vou chamar essa função de
. Ou seja,
Passo 3
Determinar o intervalo de
que descreve a região
.
Observando os vértices, os menores e maiores valores de
na região são
e
. Portanto o projeto de
no eixo
é o intervalo
. Isso sugere que é natural usar a ordem
: para cada
varia entre uma curva inferior e uma curva superior.
Passo 4
Decidir, para cada
, quais são as curvas que dão o limite inferior e superior em
.
- Pela geometria e pelas fórmulas encontradas, para um
qualquer entre e o valor de mais baixo na região é e o valor de mais alto é . - Podemos checar nos extremos:
- em
: , (coincide com os vértices e ); - em
: , (coincide com e ).
- em
Assim, para cada
temos
.
Passo 5
Escrever a integral iterada na ordem
(a forma mais simples e sem partição).
A integral dupla sobre
pode ser escrita como
Aqui, para lembrar:
-
varia de a ; - para cada
fixo, varia de até .
Passo 6
(opcional, porém didático) Expressar a integral na ordem
. Isso exige dividir em faixas de
porque a fronteira direita muda de expressão.
Primeiro achar as inversas das retas oblíquas (resolver por
em função de
):
- Da reta superior
vem
- Da reta inferior
vem
Agora observar como a fronteira direita depende de
:
- Para
o lado direito é a reta inferior invertida . - Para
o lado direito é a aresta vertical . - Para
o lado direito é a reta superior invertida .
Em todas as faixas a fronteira esquerda é
. Assim a integral na ordem
fica como soma de três integrais:
Passo 7
Pequena checagem rápida (sanidade): os limites batem nos pontos de junção
- em
: (coincide com a aresta vertical ); - em
: e também (mas não é usada em ); as trocas de forma ocorrem exatamente onde as arestas vertical e oblíquas se encontram, por isso a divisão em faixas é necessária para .