1. Escreva \iint_{Q} f(x, y) d A como uma integral iterada, se a região de integração é o quadrilátero Q no plano x y com vértices (-1,0),(-1,-3),(3,-1) e (3,-2).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: escrever \iint_{Q} f(x,y)\,dA como uma integral iterada (ou seja, transformar a integral dupla sobre a região Q em uma integral iterada com limites explícitos).
  • A região Q é o quadrilátero com vértices (-1,0),(-1,-3),(3,-1) e (3,-2). Vou chamar esses vértices, somente para referência, de:
    • A = (-1,0),
    • B = (-1,-3),
    • C = (3,-1),
    • D = (3,-2).
Informações úteis extraídas do enunciado (asimiladas, sem começar a resolver):
  • Há dois lados verticais: em x=-1 (entre y=0 e y=-3) e em x=3 (entre y=-1 e y=-2).
  • Os outros dois lados são segmentos oblíquos que ligam A a C (lado superior oblíquo) e B a D (lado inferior oblíquo).

Passo 2

Encontrar as equações das retas que formam os lados oblíquos (vai ser necessário para os limites).
Primeiro o lado superior, passando por A=(-1,0) e C=(3,-1). Calcular a inclinação m:
m=\frac{-1-0}{3-(-1)}=\frac{-1}{4}=-\tfrac{1}{4}.
Equação em forma ponto-inclinação usando A:
y = -\tfrac{1}{4}(x+1).
Vou chamar essa função de \text{top}(x). Ou seja,
\text{top}(x)= -\tfrac{1}{4}(x+1).
Agora o lado inferior, passando por B=(-1,-3) e D=(3,-2). A inclinação é
m=\frac{-2-(-3)}{3-(-1)}=\frac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
Equação usando B:
y = \tfrac{1}{4}(x+1)-3.
Vou chamar essa função de \text{bot}(x). Ou seja,
\text{bot}(x)= \tfrac{1}{4}(x+1)-3.

Passo 3

Determinar o intervalo de x que descreve a região Q.
Observando os vértices, os menores e maiores valores de x na região são -1 e 3. Portanto o projeto de Q no eixo x é o intervalo [-1,3]. Isso sugere que é natural usar a ordem dy\,dx: para cada x\in[-1,3] y varia entre uma curva inferior e uma curva superior.

Passo 4

Decidir, para cada x\in[-1,3], quais são as curvas que dão o limite inferior e superior em y.
  • Pela geometria e pelas fórmulas encontradas, para um x qualquer entre -1 e 3 o valor de y mais baixo na região é \text{bot}(x)=\tfrac{1}{4}(x+1)-3 e o valor de y mais alto é \text{top}(x)=-\tfrac{1}{4}(x+1).
  • Podemos checar nos extremos:
    • em x=-1: \text{bot}(-1)=-3, \text{top}(-1)=0 (coincide com os vértices B e A);
    • em x=3: \text{bot}(3)=-2, \text{top}(3)=-1 (coincide com D e C).
Assim, para cada x\in[-1,3] temos \text{bot}(x)\le y\le\text{top}(x).

Passo 5

Escrever a integral iterada na ordem dy\,dx (a forma mais simples e sem partição).
A integral dupla sobre Q pode ser escrita como
\iint_{Q} f(x,y)\,dA = \int_{-1}^{3}\left(\int_{\tfrac{1}{4}(x+1)-3}^{-\tfrac{1}{4}(x+1)} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui, para lembrar:
  • x varia de -1 a 3;
  • para cada x fixo, y varia de \text{bot}(x)=\tfrac{1}{4}(x+1)-3 até \text{top}(x)=-\tfrac{1}{4}(x+1).

Passo 6

(opcional, porém didático) Expressar a integral na ordem dx\,dy. Isso exige dividir em faixas de y porque a fronteira direita muda de expressão.
Primeiro achar as inversas das retas oblíquas (resolver por x em função de y):
  • Da reta superior y=-\tfrac{1}{4}(x+1) vem
x = -4y -1.
  • Da reta inferior y=\tfrac{1}{4}(x+1)-3 vem
x = 4y +11.
Agora observar como a fronteira direita depende de y:
  • Para y\in[-3,-2] o lado direito é a reta inferior invertida x=4y+11.
  • Para y\in[-2,-1] o lado direito é a aresta vertical x=3.
  • Para y\in[-1,0] o lado direito é a reta superior invertida x=-4y-1.
Em todas as faixas a fronteira esquerda é x=-1. Assim a integral na ordem dx\,dy fica como soma de três integrais:
\iint_{Q} f(x,y)\,dA = \int_{-3}^{-2}\left(\int_{-1}^{4y+11} f(x,y)\,dx\right)dy + \int_{-2}^{-1}\left(\int_{-1}^{3} f(x,y)\,dx\right)dy + \int_{-1}^{0}\left(\int_{-1}^{-4y-1} f(x,y)\,dx\right)dy.

Passo 7

Pequena checagem rápida (sanidade): os limites batem nos pontos de junção
  • em y=-2: 4(-2)+11=3 (coincide com a aresta vertical x=3);
  • em y=-1: -4(-1)-1=3 e também 4(-1)+11=7 (mas 4y+11 não é usada em [-2,-1]); as trocas de forma ocorrem exatamente onde as arestas vertical e oblíquas se encontram, por isso a divisão em faixas é necessária para dx\,dy.

Resposta

\iint_{Q} f(x,y)\,dA = \int_{-1}^{3}\left(\int_{\tfrac{1}{4}(x+1)-3}^{-\tfrac{1}{4}(x+1)} f(x,y)\,dy\right)dx
\iint_{Q} f(x,y)\,dA = \int_{-3}^{-2}\left(\int_{-1}^{4y+11} f(x,y)\,dx\right)dy + \int_{-2}^{-1}\left(\int_{-1}^{3} f(x,y)\,dx\right)dy + \int_{-1}^{0}\left(\int_{-1}^{-4y-1} f(x,y)\,dx\right)dy

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