Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
\quad y=\cos \left(\frac{2}{3} \pi x\right), \quad x=y, \quad x=0;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Curvas fornecidas:
    • y=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right).
    • x=y (reta que passa pela origem com inclinação 1).
    • x=0 (eixo y, reta vertical).
  • O que é pedido: calcular a área da(s) região(ões) limitada(s) por essas curvas (isto é, a região fechada formada por essas três curvas).

Passo 2

Identificar os pontos de interseção que fecham a região.
  • Interseção entre x=0 e y=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right): substituindo x=0 obtemos y=\cos(0)=1. Logo ponto (0,1).
  • Interseção entre x=0 e x=y: com x=0 e x=y obtemos y=0. Logo ponto (0,0).
  • Interseção entre x=y e y=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right): resolver x=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right).Testando valores simples: para x=\tfrac{1}{2} a direita vale \cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi\cdot\tfrac{1}{2}\right)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},portanto x=\tfrac{1}{2} é solução. Assim existe o ponto \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr).
Para garantir que essa é a única interseção relevante entre 0 e \tfrac{1}{2}, considere a função
f(x)=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)-x.
Temos f(0)=1>0 e f(\tfrac{1}{2})=0. Além disso
f'(x)=-\tfrac{2}{3}\pi\sin\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)-1<0
para x\in[0,\tfrac{1}{2}] (pois \sin é não negativa aí e o termo -1 garante negatividade), logo f é estritamente decrescente e a raiz encontrada é única nesse intervalo. Portanto os vértices da região fechada são (0,0), (0,1) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de x que define a região.
No intervalo [0,\tfrac{1}{2}] a curva y=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right) tem valor em x=0 igual a 1 e em x=\tfrac{1}{2} igual a \tfrac{1}{2}; a reta y=x vai de 0 até \tfrac{1}{2}. Portanto, para x\in(0,\tfrac{1}{2}) vale
\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)>x,
ou seja, a cosseno é a função superior e y=x a inferior entre x=0 e x=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Escrever a expressão de área entre duas curvas e explicar a fórmula.
Se duas curvas y=y_{\text{top}}(x) e y=y_{\text{bot}}(x) delimitam uma região verticalmente entre x=a e x=b, a área dessa região é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right), y_{\text{bot}}(x)=x, e os limites em x são a=0 e b=\tfrac{1}{2}. Logo
\text{Área}=\int_{0}^{1/2}\!\left[\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)-x\right]dx.Á

Passo 5

Calcular a integral termo a termo, mostrando cada passo.
Primeiro a integral de \cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right). Usar que \int \cos(ax)\,dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax) (isto vem da regra da cadeia invertida). Aqui a=\tfrac{2}{3}\pi. Assim
\int_{0}^{1/2}\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)\,dx =\left[\dfrac{1}{\tfrac{2}{3}\pi}\sin\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)\right]_{0}^{1/2} =\dfrac{3}{2\pi}\biggl(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-\sin 0\biggr).
Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 0=0, resulta
\int_{0}^{1/2}\cos\!\left(\tfrac{2}{3}\pi x\right)\,dx=\dfrac{3}{2\pi}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}.
Agora a integral de x:
\int_{0}^{1/2} x\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1/2}=\tfrac{1}{2}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{8}.

Passo 6

Subtrair as integrais para obter a área e simplificar.
\text{Área}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}-\tfrac{1}{8}.Á
Podemos checar rapidamente que esse valor é positivo: \dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}\approx\dfrac{3\cdot1{,}732}{4\cdot3{,}1416}\approx\dfrac{5{,}196}{12{,}566}\approx0{,}4137, e 0{,}4137-\tfrac{1}{8}=0{,}4137-0{,}125=0{,}2887>0, então faz sentido.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}-\dfrac{1}{8}

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