Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: x=y^2+1, y+x=7

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x = y^2 + 1 (parábola) e y + x = 7 (reta). O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas via integral definida em y.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos as interseções entre as curvas substituindo x = y^2 + 1 em y + x = 7. Assim: y + (y^2 + 1) = 7 leva a y^2 + y - 6 = 0, cujas raízes são y = 2 e y = -3.

Passo 3

Em cada valor de y entre -3 e 2, a abscissa da reta é xreta = 7 - y e da parábola é xparábola = y^2 + 1á. A largura horizontal da região é a diferença:
(7 - y) - (y^2 + 1) = 6 - y - y^2

Passo 4

A área procurada é dada pela integral
integral-3^2 (6 - y - y^2), dy
Para integrar, calculamos a antiderivada 6y - tfracy^22 - tfracy^33 e avaliamos nos limites.

Passo 5

Ao avaliar de -3 até 2 e subtrair, obtemos
l(12 - 2 - tfrac83r) - l(-18 - tfrac92 + 9r) = tfrac1256
Logo, essa é a área da região.

Resposta

1256

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