Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular usando integração por partes. Vamos precisar da fórmula de integração por partes e também saber que e que .
Passo 2
Escolhemos na integração por partes u = x e dv = sec(x)tan(x),dx. Dessa forma temos du = dx e, como d(sec(x)) = sec(x)tan(x),dx,
v = \sec(x).
Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
Passo 3
Agora usamos a primitiva de sec(x):
Portanto a integral indefinida é
Passo 4
Para calcular a integral definida de 0 a pi3, avaliamos x=pi3
Em sec(pi3)=2 temos tan(pi3)=raiz3 e xsec(x)=pi3cdot2=2pi3, então ln|sec(x)+tan(x)|=ln(2+raiz3) e x=0.
Em xsec(x)=0 temos ln|sec(0)+tan(0)|=ln1=0 e .