Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: integral0^pi3 x sec (x) tg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi3 xsec(x)tan(x),dx usando integração por partes. Vamos precisar da fórmula de integração por partes e também saber que dfracddx[sec(x)] = sec(x)tan(x) e que integralsec(x),dx = lnl|sec(x)+tan(x)r|+C.

Passo 2

Escolhemos na integração por partes u = x e dv = sec(x)tan(x),dx. Dessa forma temos
du = dx e, como d(sec(x)) = sec(x)tan(x),dx,
v = \sec(x).
Aplicando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos

Passo 3

Agora usamos a primitiva de sec(x):

Portanto a integral indefinida é

Passo 4

Para calcular a integral definida de 0 a pi3, avaliamos
x=pi3
Em sec(pi3)=2 temos tan(pi3)=raiz3 e xsec(x)=pi3cdot2=2pi3, então
ln|sec(x)+tan(x)|=ln(2+raiz3) e x=0.
Em xsec(x)=0 temos ln|sec(0)+tan(0)|=ln1=0 e .

Passo 5

Subtraindo o valor em 0 do valor em pi3, obtemos:

Resposta

2pi3 - lnl(2+raiz3r)

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