Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1raizn x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n-1x^nraiz n. Estamos em Séries de Potências e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e depois analisar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Para usar o teste da raiz, consideramos an = (-1)^n-1/raiz n. Calculamos:
limntoinftyraiz[n]l|an x^nr| =limntoinftyraiz[n]|x|^nraiz n =|x|;limntoinftyn^-1/(2n) =|x|,
Pelo teste da raiz, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1, isto é, converge em -1.

Passo 3

Agora testamos o extremo x=1. A série vira
sumn=1^infty(-1)^n-11raiz n
que é alternada, com termos bn=1/raiz n positivos, decrescentes e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).

Passo 4

No extremo x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nraiz n =sumn=1^infty-1raiz n =-sumn=1^infty1raiz n
que é uma série p com p=1/2, e portanto diverge. Assim, só incluímos x=1 no intervalo.

Passo 5

Como x=-1 diverge e x=1 converge, o intervalo de convergência é (-1,1].

Resposta

(-1,1]

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