Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências . Estamos em Séries de Potências e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e depois analisar os extremos e .
Passo 2
Para usar o teste da raiz, consideramos . Calculamos:
Pelo teste da raiz, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1, isto é, converge em -1.
Passo 3
Agora testamos o extremo x=1. A série vira
sumn=1^infty(-1)^n-11raiz n
que é alternada, com termos bn=1/raiz n positivos, decrescentes e tendendo a zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).
Passo 4
No extremo x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^n-1(-1)^nraiz n =sumn=1^infty-1raiz n =-sumn=1^infty1raiz n
que é uma série p com p=1/2, e portanto diverge. Assim, só incluímos x=1 no intervalo.
Passo 5
Como x=-1 diverge e x=1 converge, o intervalo de convergência é (-1,1].