Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty 14 n raizn x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
sumn=1^infty 14nraizn,x^n
O conteúdo usado aqui é séries de potências e como determinar o raio de convergência usando o teste da raiz. Vamos precisar também verificar o comportamento da série nos pontos extremos x=pm1.

Passo 2

Para achar o raio de convergência, aplicamos o teste da raiz: calculamos
L = limntoinfty raiz[n]l|14nraizn,x^nr| = |x|limntoinfty 1raiz[n]4n^3/2
Como
raiz[n]4n^3/2=4^1/n,n^3/(2n)longrightarrow1(ntoinfty),
segue que L=|x|.

Passo 3

Pelo teste da raiz a série converge se L<1, ou seja
|x|<1
Logo o raio de convergência é R=1 e, até aqui, a convergência absoluta ocorre para -1.

Passo 4

Agora avaliamos o ponto x=1. A série torna-se
sumn=1^infty 14nraizn = 14 sumn=1^infty 1n^3/2
Como isso é uma série do tipo sum1/n^p com p=3/2>1, ela converge (teste da p-série).

Passo 5

No ponto x=-1 temos
sumn=1^infty (-1)^n4nraizn
Esta é uma série alternada cujos termos em valor absoluto 1/(4n^3/2) são positivos, decrescentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz, ela converge.

Resposta

[-1,1]

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