Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área de duas regiões planas. O conteúdo é cálculo de área de regiões via integrais. A ideia geral é usar fatias verticais: identificar as curvas que limitam acima e abaixo, achar os pontos de interseção para determinar os limites em x e então integrar a diferença entre função superior e inferior.
Passo 2
Para a primeira região, as curvas são 2x–3y=0 (ou y=
), x+y=5 (ou y=5–x) e y=0. Elas se intersectam em (0,0), (5,0) e no ponto comum de y=
e y=5–x, que é x=3, y=2. Assim, de x=0 a 3 a fronteira superior é y=
e de x=3 a 5 é y=5–x.
Passo 3
Para calcular a área da primeira região montamos
Calculando cada integral:
Somando, obtemos A_1 = 3 + 2 = 5.
Passo 4
Para a segunda região, as curvas são xy=9 (ou y=
), y=x, y=0 e x=9. As interseções são em (0,0) entre y=0 e y=x, em (3,3) entre y=x e y=
, e em (9,1) entre y=
e x=9. A região é dada por 0\le x\le9 e 0\le y\le f(x), onde f(x)=x para 0\le x\le3 e f(x)=
para 3\le x\le9.
Passo 5
Montamos a integral da área dessa região:
Calculando:
Logo, A_2 =
.
Resposta
A primeira região tem área
e a segunda região tem área
.