Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
2 x-3 y=0, x+y=5, y=0
x y=9, y=x, y=0, x=9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de duas regiões planas. O conteúdo é cálculo de área de regiões via integrais. A ideia geral é usar fatias verticais: identificar as curvas que limitam acima e abaixo, achar os pontos de interseção para determinar os limites em x e então integrar a diferença entre função superior e inferior.

Passo 2

Para a primeira região, as curvas são 2x–3y=0 (ou y= 23x), x+y=5 (ou y=5–x) e y=0. Elas se intersectam em (0,0), (5,0) e no ponto comum de y= 23x e y=5–x, que é x=3, y=2. Assim, de x=0 a 3 a fronteira superior é y= 23x e de x=3 a 5 é y=5–x.

Passo 3

Para calcular a área da primeira região montamos
A1 = integral0^3 23 x ,dx , + integral3^5 (5 - x),dx
Calculando cada integral:
integral0^3 23 x ,dx = 23 cdot x^22 |0^3 = 13 cdot 9 = 3
integral3^5 (5 - x),dx = l(5x - x^22r)|3^5 = (25 - tfrac252) - (15 - tfrac92) = 25 - 152 + 9 - 252 = 2
Somando, obtemos A_1 = 3 + 2 = 5.

Passo 4

Para a segunda região, as curvas são xy=9 (ou y= 9x), y=x, y=0 e x=9. As interseções são em (0,0) entre y=0 e y=x, em (3,3) entre y=x e y= 9x, e em (9,1) entre y= 9x e x=9. A região é dada por 0\le x\le9 e 0\le y\le f(x), onde f(x)=x para 0\le x\le3 e f(x)= 9x para 3\le x\le9.

Passo 5

Montamos a integral da área dessa região:
A2 = integral0^3 x,dx + integral3^9 9x,dx
Calculando:
integral0^3 x,dx = x^22|0^3 = 92,
integral3^9 9x,dx = 9ln x |3^9 = 9(ln 9 - ln 3) = 9ln 3
Logo, A_2 = 92 + 9ln 3.

Resposta

A primeira região tem área 5 e a segunda região tem área tfrac92 + 9ln 3.

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