Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da sequência $ a_n = \frac{20n}{1 + \sqrt{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito. Isso cai no conteúdo de limites de sequências, especificamente analisando como as expressões se comportam conforme seus termos aumentam sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos no numerador e no denominador crescem conforme $ n $ fica cada vez maior.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da nossa fração, que é $ 20n $. Isso significa que, conforme $ n $ aumenta, o valor do numerador também aumenta de forma linear.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador, que é $ 1 + \sqrt{n} $. Aqui, temos duas partes: o número 1 e a raiz quadrada de $ n $. Quando $ n $ cresce, o termo $ \sqrt{n} $ também aumenta, mas de forma mais lenta comparado a $ n $ sozinho.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento da fração inteira, podemos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo maior termo presente, que nesse caso é $ \sqrt{n} $.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com cada parte conforme $ n $ tende ao infinito:
- $ 20\sqrt{n} $ continua aumentando porque $ \sqrt{n} $ cresce sem limites.
- $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ diminui e se aproxima de zero, já que $ \sqrt{n} $ fica muito grande.
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 6
Finalmente, observamos que $ 20\sqrt{n} $ tende ao infinito conforme $ n $ cresce. Isso significa que a sequência $ a_n $ não se aproxima de um número específico, mas sim cresce sem limites.
Resposta
O limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito é infinito, ou seja: