Calcule, caso exista, lim n infty an, sendo an igual a:
1n-1n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito, onde $ a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente nos limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão de $ a_n $:
an
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações.

Passo 3

O denominador comum entre $ n $ e $ n+1 $ é $ n(n+1) $. Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
n

Passo 4

Simplificando o numerador:
(n+1) - n = 1
Então, a expressão fica:
an = 1n(n+1)

Passo 5

Agora, queremos encontrar o limite de $ a_n $ quando $ n $ vai para o infinito. Vamos analisar o comportamento de $ \frac{1}{n(n+1)} $ à medida que $ n $ cresce.

Passo 6

Quando $ n $ fica muito grande, tanto $ n $ quanto $ n+1 $ ficam muito grandes, e o produto $ n(n+1) $ cresce ainda mais rápido. Assim, o denominador da fração fica enorme.

Passo 7

Em matemática, quando o denominador de uma fração cresce sem limite e o numerador permanece constante, o valor da fração tende a zero. Portanto:
limn to infty 1n(n+1) = 0

Resposta

limn infty an = 0

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