Calcule, caso exista,
, sendo
igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito, onde $ a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $. Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente nos limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar o conceito de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão de $ a_n $:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para as duas frações.
Passo 3
O denominador comum entre $ n $ e $ n+1 $ é $ n(n+1) $. Então, reescrevemos as frações com esse denominador:
Passo 4
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o limite de $ a_n $ quando $ n $ vai para o infinito. Vamos analisar o comportamento de $ \frac{1}{n(n+1)} $ à medida que $ n $ cresce.
Passo 6
Quando $ n $ fica muito grande, tanto $ n $ quanto $ n+1 $ ficam muito grandes, e o produto $ n(n+1) $ cresce ainda mais rápido. Assim, o denominador da fração fica enorme.
Passo 7
Em matemática, quando o denominador de uma fração cresce sem limite e o numerador permanece constante, o valor da fração tende a zero. Portanto: