Calcule a derivada das funções:
f(x)=x arctan (x)cos ^2(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x,arctan(x)cos^2(x). O conteúdo envolvido é regra do produto, regra da cadeia e derivadas de funções elementares ( arctan e cos). Para resolver, vamos reescrever f como um produto e depois aplicar as regras adequadas.

Passo 2

Definimos u(x)=x,arctan(x). Usando a regra do produto: a derivada de u é
u'(x)=1cdotarctan(x)+xcdot11+x^2
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u'(x)=arctan(x)+x1+x^2

Passo 3

Definimos v(x)=(cos x)^-2. Usando regra da cadeia: primeiro derivamos a potência, depois o cosseno:
v'(x)=-2(cos x)^-3cdot(-sin x)=2sin(x)cos^3(x)

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x),v(x):
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo as expressões de u, u', v e v':
f'(x)=l(arctan(x)+x1+x^2r)cdot1cos^2(x)+x,arctan(x)cdot2sin(x)cos^3(x)

Passo 5

Essa expressão é a derivada de f. Se quiser, podemos deixá-la assim ou então fatorar 1cos^3(x) para obter outra forma equivalente. Aqui fica a forma final.

Resposta

f'(x)=l(arctan(x)+x1+x^2r)1cos^2(x)+x,arctan(x)2sin(x)cos^3(x)

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