Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=ln(x), x=1 e y=4. O conteúdo é área por integração definida de funções e vamos precisar usar a fórmula área = ∫(curva superior – curva inferior) dx.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração em x, fazemos as interseções: com y=4 e y=ln(x) temos ln(x)=4 ⇒ x=e^4; com x=1 e y=ln(x) em x=1 o valor de y é ln(1)=0, mas esse ponto não afeta o limite superior de y para a área solicitada. Então integraremos de x=1 até x=e^4.
Passo 3
Montamos a integral da área subtraindo a curva inferior y=ln(x) da curva superior y=4:
Passo 4
Para calcular a primitiva, lembramos que
Logo a antiderivada de 4−ln(x) é
Passo 5
Basta agora avaliar de x=1 até x=e^4:
Para x=e^4:
Para x=e^4:
Para x=1:
Subtraindo, obtemos
Resposta
A área da região é A = e^4 − 5.