Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: y=ln (x), x=1, y=4

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=ln(x), x=1 e y=4. O conteúdo é área por integração definida de funções e vamos precisar usar a fórmula área = ∫(curva superior – curva inferior) dx.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração em x, fazemos as interseções: com y=4 e y=ln(x) temos ln(x)=4 ⇒ x=e^4; com x=1 e y=ln(x) em x=1 o valor de y é ln(1)=0, mas esse ponto não afeta o limite superior de y para a área solicitada. Então integraremos de x=1 até x=e^4.

Passo 3

Montamos a integral da área subtraindo a curva inferior y=ln(x) da curva superior y=4:
A=integral1^e^4l(4-ln(x)r),dx

Passo 4

Para calcular a primitiva, lembramos que
integral4,dx=4x, integralln(x),dx=xln(x)-x
Logo a antiderivada de 4−ln(x) é
4x-l(xln(x)-xr)=5x-xln(x)

Passo 5

Basta agora avaliar de x=1 até x=e^4:
Para x=e^4:
5e^4 - e^4ln(e^4)=5e^4 -4e^4 = e^4
Para x=1:
5cdot1 -1ln(1)=5-0=5
Subtraindo, obtemos
A=e^4 -5

Resposta

A área da região é A = e^4 − 5.

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