Mostre que a série
converge e calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a série
converge e para calcular a soma dela. A gente vai precisar entender sobre séries geométricas e como verificar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para facilitar a análise. Observe que qualquer número elevado a zero é 1, mas como nosso somatório começa em
, temos:
Então, a série fica assim:
Passo 3
Agora, vamos separar cada termo da soma para lidar com eles individualmente:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Aí a coisa fica mais fácil, porque cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde
�� o primeiro termo e
é a razão comum. Essas séries convergem se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
.
Passo 5
Vamos identificar os valores de
e
em cada uma das três séries que separamos:
-
Primeira série:
-
-
Segunda série:
-
-
Terceira série:
-
Passo 6
Como todas as razões (
) são menores que 1 em módulo, as três séries convergem. Agora, vamos calcular a soma de cada uma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Passo 7
Calculando a primeira soma:
Calculando a segunda soma:
Calculando a terceira soma:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das três séries para obter a soma total da série original:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.