Mostre que a série sumn=1^+infty(1^n+2^n+3^n4^n) converge e calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a série sumn=1^+infty(1^n+2^n+3^n4^n) converge e para calcular a soma dela. A gente vai precisar entender sobre séries geométricas e como verificar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para facilitar a análise. Observe que qualquer número elevado a zero é 1, mas como nosso somatório começa em n=1, temos:
1^n = 1 para todo n
Então, a série fica assim:
sumn=1^+infty(1 + 2^n + 3^n4^n)

Passo 3

Agora, vamos separar cada termo da soma para lidar com eles individualmente:
sumn=1^+infty(14^n + 2^n4^n + 3^n4^n)
Isso pode ser reescrito como:
sumn=1^+infty14^n + sumn=1^+infty(24)^n + sumn=1^+infty(34)^n

Passo 4

Aí a coisa fica mais fácil, porque cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=1^+infty a cdot r^n
onde a �� o primeiro termo e r é a razão comum. Essas séries convergem se o valor absoluto de r for menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 5

Vamos identificar os valores de a e r em cada uma das três séries que separamos:
  1. Primeira série:
    • a = 14
    • r = 14
  2. Segunda série:
    • a = 24 = 12
    • r = 12
  3. Terceira série:
    • a = 34
    • r = 34

Passo 6

Como todas as razões ( r) são menores que 1 em módulo, as três séries convergem. Agora, vamos calcular a soma de cada uma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r

Passo 7

Calculando a primeira soma:
S1 = 141 - 14 = 1434 = 13
Calculando a segunda soma:
S2 = 121 - 12 = 1212 = 1
Calculando a terceira soma:
S3 = 341 - 34 = 3414 = 3

Passo 8

Agora, somamos os resultados das três séries para obter a soma total da série original:
S = S1 + S2 + S3 = 13 + 1 + 3 = 13 + 41 = 133

Resposta

A série sumn=1^+infty(1^n+2^n+3^n4^n) converge e sua soma é 133.

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