integral1^3 x^2-4 x+3x(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o valor da integral definida de 1 a 3 da função racional x^2-4x+3x(x+1)^2. O conteúdo aqui é integração de frações parciais, e vamos precisar decompor o integrando em termos simples para integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, fazemos a decomposição em frações parciais: suponha que
x^2-4x+3x(x+1)^2=Ax+Bx+1+C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)^2, obtemos
x^2-4x+3=A(x+1)^2+B,x(x+1)+C,x
Expandindo e comparando coeficientes de x^2,x, e termo constante, achamos:
A=3, B=-2, C=-8

Passo 3

Agora a integral vira
integral1^3l(3x-2x+1-8(x+1)^2r)dx
Integramos termo a termo:
integral3xdx=3ln|x|, integral-2x+1dx=-2ln|x+1|, integral-8(x+1)^2dx=81x+1
Logo uma primitiva é
F(x)=3ln|x|-2ln|x+1|+8x+1

Passo 4

Fazendo a diferença dos valores nos limites de 1 e 3:
F(3)=3ln3-2ln4+2,
F(1)=3ln1-2ln2+4=-2ln2+4
Então
integral1^3=F(3)-F(1)=3ln3-2ln4+2-(-2ln2+4)=3ln3-2ln2-2

Resposta

3ln3-2ln2-2

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