Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
O exercício pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
,
e a reta
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de áreas por integração, mais precisamente a técnica de integrar a diferença entre as funções “superior” e “inferior” em relação a
. Vamos precisar achar onde as duas curvas se cruzam para determinar os limites de integração.
Passo 2
Para encontrar o ponto de interseção entre
e
, igualamos as expressões:
Isso implica
Logo
Passo 3
Com o valor de
de interseção em mãos e sabendo que a região vai de
até
, configuramos a integral da área como a diferença entre a função superior
e a inferior
:
Aqui estamos aplicando a ideia de que, para cada
Passo 4
Agora vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo
Para o primeiro termo
pois
Para o segundo termo
usando a substituição padrão em exponenciais da forma
.
Assim um antiderivado de é
Assim um antiderivado de
Passo 5
Basta agora avaliar essa primitiva entre os limites 0 e
:
No limite superior :
No limite superior
No limite inferior
Subtraindo inferior de superior:
Resposta
A área da região é
.