Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y=e^pi, y=e^2 x-1, x=0

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=e^pi, y=e^2x-1 e a reta x=0. Isso envolve o conteúdo de cálculo de áreas por integração, mais precisamente a técnica de integrar a diferença entre as funções “superior” e “inferior” em relação a x. Vamos precisar achar onde as duas curvas se cruzam para determinar os limites de integração.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção entre y=e^2x-1 e y=e^pi, igualamos as expressões:
e^2x-1=e^pi
Isso implica
2x-1=pi
Logo
x=pi+12

Passo 3

Com o valor de x de interseção em mãos e sabendo que a região vai de x=0 até x=(pi+1)/2, configuramos a integral da área como a diferença entre a função superior y=e^pi e a inferior y=e^2x-1:
Área=integral0^pi+12l(e^pi-e^2x-1r),dxÁ
Aqui estamos aplicando a ideia de que, para cada x, a altura da região é ysup-yinf.

Passo 4

Agora vamos integrar termo a termo.
Para o primeiro termo
integral e^pi,dx=e^pix,
pois e^pi é constante.
Para o segundo termo
integral e^2x-1,dx=12e^2x-1,
usando a substituição padrão em exponenciais da forma e^ax.
Assim um antiderivado de e^pi-e^2x-1 é
e^pix-12e^2x-1

Passo 5

Basta agora avaliar essa primitiva entre os limites 0 e (pi+1)/2:
No limite superior x=(pi+1)/2:
e^picdotpi+12-12e^2cdotpi+12-1=e^pipi+12-12e^pi
No limite inferior x=0:
e^picdot0-12e^-1=-12e^-1
Subtraindo inferior de superior:
e^pipi+12-12e^pi-l(-12e^-1r)=pi2e^pi+12e^-1

Resposta

A área da região é pi2e^pi+12e^-1.

Exercícios relacionados