Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y=x^2-x, y=sen(pi x), x=-1, x=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos de y = x^2 - x, y = sin(pi x) e as retas verticais x = -1 e x = 1. Esse problema envolve área entre curvas, que resolvemos por integração da diferença das funções no intervalo onde uma está acima da outra.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção solucionando x^2 - x = sin(pi x). Testando x = -1, 0, 1 vemos que são raízes, logo as curvas se cruzam em -1, 0 e 1. Assim, dividimos o intervalo [-1,1] em [-1,0] e [0,1]. Em [-1,0] temos x^2 - x >= sin(pi x) e em [0,1] temos sin(pi x) >= x^2 - x.

Passo 3

Na parte [-1,0], a área é
integral-1^0 l((x^2 - x) - sin(pi x)r),dx
Calculamos uma primitiva
F(x) = x^33 - x^22 + 1picos(pi x)
e avaliamos de -1 a 0, obtendo
F(0) - F(-1) = l(0 - 0 + tfrac1pir) - l(-tfrac56 - tfrac1pir) = 2pi + 56

Passo 4

Na parte [0,1], a área é
integral0^1 l(sin(pi x) - (x^2 - x)r),dx
Uma primitiva é
G(x) = -1picos(pi x) - x^33 + x^22
que, ao ser avaliada de 0 a 1, dá
G(1) - G(0) = l(tfrac1pi + tfrac16r) - l(-tfrac1pir) = 2pi + 16

Passo 5

Somando as duas áreas: l(2/pi + 5/6r) + l(2/pi + 1/6r) = 4/pi + 1 Portanto, a área total é 1 + 4pi.

Resposta

1 + 4pi

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