Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y=cos (x), y=1-cos (x), x=0, x=pi2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=cos x, y=1-cos x, x=0 e x=tfracpi2. O conteúdo é área entre duas curvas, para isso vamos precisar usar integrais definidas e encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, achamos o(s) ponto(s) onde as duas curvas se cruzam resolvendo cos x = 1 - cos x. Isso dá 2cos x = 1, ou seja,
[\cos x = \tfrac12 \quad\implies\quad x = \tfrac{\pi}{3}
]

Passo 3

Agora dividimos o intervalo [0,tfracpi2] em duas partes: de 0 a tfracpi3 e de tfracpi3 a tfracpi2. Em [0,tfracpi3] temos cos x acima de 1-cos x, e em [tfracpi3,tfracpi2] é o contrário.

Passo 4

Montamos as integrais para cada parte:
[
A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\cos x - (1-\cos x)\bigr),dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(2\cos x -1),dx
]
[
A_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl((1-\cos x)-\cos x\bigr),dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1-2\cos x),dx
]

Passo 5

Usando antiderivadas ( integralcos x,dx=sin x e integral1,dx=x), calculamos:
[
A_1 = \Bigl[2\sin x - x\Bigr]{0}^{\frac{\pi}{3}} = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}
]
[
A_2 = \Bigl[x - 2\sin x\Bigr]
{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \Bigl(\frac{\pi}{2}-2\Bigr) - \Bigl(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\Bigr) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2
]

Passo 6

Somando as duas áreas obtemos a área total:
[
A = A_1 + A_2 = \bigl(\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + \bigl(\tfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2\bigr) = 2\sqrt{3} -2 - \tfrac{\pi}{6}
]

Resposta

2raiz3 - 2 - tfracpi6

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