Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. O conteúdo é área entre duas curvas, para isso vamos precisar usar integrais definidas e encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, achamos o(s) ponto(s) onde as duas curvas se cruzam resolvendo
. Isso dá
, ou seja,
[\cos x = \tfrac12 \quad\implies\quad x = \tfrac{\pi}{3}
]
[\cos x = \tfrac12 \quad\implies\quad x = \tfrac{\pi}{3}
]
Passo 3
Agora dividimos o intervalo
em duas partes: de 0 a
e de
a
. Em
temos
acima de
, e em
é o contrário.
Passo 4
Montamos as integrais para cada parte:
[
A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\cos x - (1-\cos x)\bigr),dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(2\cos x -1),dx
]
[
A_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl((1-\cos x)-\cos x\bigr),dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1-2\cos x),dx
]
[
A_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\cos x - (1-\cos x)\bigr),dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(2\cos x -1),dx
]
[
A_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl((1-\cos x)-\cos x\bigr),dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(1-2\cos x),dx
]
Passo 5
Usando antiderivadas (
e
), calculamos:
[
A_1 = \Bigl[2\sin x - x\Bigr]{0}^{\frac{\pi}{3}} = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}
]
[
A_2 = \Bigl[x - 2\sin x\Bigr]{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \Bigl(\frac{\pi}{2}-2\Bigr) - \Bigl(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\Bigr) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2
]
[
A_1 = \Bigl[2\sin x - x\Bigr]{0}^{\frac{\pi}{3}} = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}
]
[
A_2 = \Bigl[x - 2\sin x\Bigr]{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \Bigl(\frac{\pi}{2}-2\Bigr) - \Bigl(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}\Bigr) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2
]
Passo 6
Somando as duas áreas obtemos a área total:
[
A = A_1 + A_2 = \bigl(\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + \bigl(\tfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2\bigr) = 2\sqrt{3} -2 - \tfrac{\pi}{6}
]
[
A = A_1 + A_2 = \bigl(\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{3}\bigr) + \bigl(\tfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} -2\bigr) = 2\sqrt{3} -2 - \tfrac{\pi}{6}
]