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Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(a) y=5-x^2, y=x+3

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a área da região limitada pelas curvas y=5-x^2 e y=x+3. O conteúdo aqui é área entre curvas, que se resolve usando integração definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo
5 - x^2 = x + 3
que leva a
x^2 + x - 2 = 0
cuja solução é x=-2 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva está acima no intervalo [-2,1]. Por exemplo, em x=0 temos 5-0^2=5 e 0+3=3, logo y=5-x^2 é a curva superior e y=x+3 a inferior.

Passo 4

Montar a integral da área como a diferença entre as duas curvas no intervalo de interseção:
A = integral-2^1l[(5 - x^2) - (x + 3)r],dx

Passo 5

Calcular a integral. Primeiro simplificamos o integrando:
(5 - x^2) - (x + 3) = 2 - x - x^2
Em seguida, achamos a antiderivada e avaliamos de -2 a 1:
integral-2^1(2 - x - x^2),dx = l[2x - tfracx^22 - tfracx^33r]-2^1 = 92

Resposta

92

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