A equação diferencial
representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
© o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo;
© o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes \
, sujeita às condições iniciais
C e
(corrente inicial nula), e depois calcular a carga
e a corrente
. Vamos usar teoria de equações diferenciais lineares homogêneas.
Passo 2
Para resolver, montamos a equação característica associada, que vem de substituir
na equação diferencial. Temos a equação característica em bloco abaixo:
Resolvendo, obtemos as raízes
e
. Isso significa que a solução geral é combinação linear de decaimentos exponenciais.
Passo 3
A solução geral da equação homogênea é dada por
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Precisamos das condições iniciais. Primeiro, em
:
Em seguida, a corrente é a derivada de
:
Logo, em
temos
Esse sistema linear:
resolve-se obtendo
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, ficamos com
e para a corrente
Agora basta avaliar em
.
Passo 6
Avaliação em
:
Se quisermos valores numéricos aproximados, usamos
e
, resultando em
C e
A.
Resposta
A carga em t=1 s é
C e a corrente é
A.