A equação diferencial q^prime prime+3 q^prime+2 q=0 representa o decaimento da carga num circuito LRC. Sabendo que a carga neste circuito, no instante zero é 5C, e a corrente inicial é nula, determine:
© o valor da carga e da corrente no circuito após 1 segundo;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes constantes \ q'' + 3q' + 2q = 0, sujeita às condições iniciais q(0)=5 C e q'(0)=0 (corrente inicial nula), e depois calcular a carga q(1) e a corrente i(1). Vamos usar teoria de equações diferenciais lineares homogêneas.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada, que vem de substituir q(t)=e^rt na equação diferencial. Temos a equação característica em bloco abaixo:
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r=-1 e r=-2. Isso significa que a solução geral é combinação linear de decaimentos exponenciais.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea é dada por
q(t) = A e^-t + B e^-2t
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Precisamos das condições iniciais. Primeiro, em t=0:
q(0) = A + B = 5
Em seguida, a corrente é a derivada de q:
i(t)=q'(t) = -A e^-t - 2B e^-2t
Logo, em t=0 temos
i(0) = -A - 2B = 0
Esse sistema linear:
A + B = 5, -A - 2B = 0
resolve-se obtendo A=10 e B=-5.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, ficamos com
q(t) = 10 e^-t - 5 e^-2t,
e para a corrente
i(t) = -10 e^-t + 10 e^-2t
Agora basta avaliar em t=1.

Passo 6

Avaliação em t=1:
q(1) = 10 e^-1 - 5 e^-2,
i(1) = -10 e^-1 + 10 e^-2
Se quisermos valores numéricos aproximados, usamos e^-1approx0,3679 e e^-2approx0,1353, resultando em q(1)approx3,00 C e i(1)approx-2,33 A.

Resposta

A carga em t=1 s é q(1)=10e^-1-5e^-2approx3,00 C e a corrente é i(1)=-10e^-1+10e^-2approx-2,33 A.

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