Considere o problema de valor inicial
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
O problema dado é encontrar uma solução de
aplicando o Teorema de Existência e Unicidade para ODEs de segunda ordem. Vamos precisar verificar onde a função não homogênea
Passo 2
Para usar o teorema, convertemos a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Definimos
então
com condições iniciais
e
. A existência e unicidade garantem-se se as funções do lado direito forem contínuas em
e Lipschitz em
.
Passo 3
Observamos que as funções lineares em
são sempre Lipschitz. Resta analisar
. Sabemos que
é contínua sempre que
, ou seja, para
As singularidades mais próximas a
Passo 4
Portanto, o maior intervalo aberto contendo
onde
(e assim o sistema) é contínuo e Lipschitz é
Nesse intervalo a solução existe e é única.
Resposta
(-\tfrac{\pi}{2},,\tfrac{\pi}{2})