Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+y=sec (x), y(0)=1 e y^prime(0)=0
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O problema dado é encontrar uma solução de
y''+y=sec(x), y(0)=1,;y'(0)=0,
aplicando o Teorema de Existência e Unicidade para ODEs de segunda ordem. Vamos precisar verificar onde a função não homogênea sec(x) é contínua e onde a função certa do sistema é Lipschitz em y,y'.

Passo 2

Para usar o teorema, convertemos a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Definimos
u1=y, u2=y',
então
u1'=u2, u2'=-u1+sec(x),
com condições iniciais u1(0)=1 e u2(0)=0. A existência e unicidade garantem-se se as funções do lado direito forem contínuas em x e Lipschitz em (u1,u2).

Passo 3

Observamos que as funções lineares em u1,u2 são sempre Lipschitz. Resta analisar sec(x). Sabemos que sec(x)=1/cos(x) é contínua sempre que cos(x)neq0, ou seja, para
xneqtfracpi2+kpi, kin Z
As singularidades mais próximas a x=0 ocorrem em x=pmtfracpi2.

Passo 4

Portanto, o maior intervalo aberto contendo 0 onde sec(x) (e assim o sistema) é contínuo e Lipschitz é
(-tfracpi2,,tfracpi2)
Nesse intervalo a solução existe e é única.

Resposta

(-\tfrac{\pi}{2},,\tfrac{\pi}{2})

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